Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho.

Gọi số có hai chữ số cần tìm là \(\overline {ab} \) với \[a,b \in \left\{ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} \right\},{\rm{ }}a \ne 0.\]

Vì chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 5 nên \[a - b = 5.\] (1)

Nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 7 và dư là 6.

Do đó: \[\overline {ab} = 7\left( {a + b} \right) + 6.\] (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}a - b = 5\\\overline {ab} = 7\left( {a + b} \right) + 6\end{array} \right.\;\; \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 5\\10a + b = 7\left( {a + b} \right) + 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 5\\3a - 6b = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 5\\a - 2b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 8\\b = 3\end{array} \right.\]

Vậy số cần tìm là 83.

Gọi hai số cần tìm là x, y. Điều kiện: \[x,y \ne 0.\]

Tổng của hai số đó là: \[x + y = 9.\]                                 (1)

Tổng các nghịch đảo của chúng là: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{9}{{14}}\)         (2)

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 9\\\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{9}{{14}}\end{array} \right.\)

Từ (1) có: \[y = 9 - x,\] thay vào (2) ta được:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{{9 - x}} = \frac{9}{{14}} \Leftrightarrow 14\left( {9 - x} \right) + 14x = 9x\left( {9 - x} \right) \Leftrightarrow 9{x^2} - 81x + 126 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 7\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Với \[x = 2\] thì \[y = 7.\]

Với \[x = 7\] thì \[y = 2.\]

Vậy hai số cần tìm là 2 và 7.