Cho hình vuông ABCD và điểm I thay đổi nằm trên cạnh AB. Tia DI cắt đường thẳng BC tại E. Đường thẳng kẻ qua D vuông góc với DE cắt đường thẳng BC tại F. Chứng minh rằng tổng $\frac{1}{D{I}^2}+\frac{1}{D{E}^2}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm I.

Tính chiều cao của một cột tháp, biết rằng lúc mặt trời ở độ cao $50°$ (nghĩa là tia sáng của mặt trời tạo với phương nằm ngang của mặt đất một góc bằng $50°$) thì bóng của nó trên mặt đất dài 96m.

Cho tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết $AC=4cm,BD=5cm,$ $\widehat{AOB}=50°.$ Tính diện tích tứ giác ABCD.

Cho hình thang ABCD vuông góc tại A và D. Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Biết $AB=2\sqrt{3},OA=6.$ Tính diện tích hình thang ABCD.

Cho tam giác nhọn ABC. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C.

a) Chứng minh $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}.$

Cho hình thang vuông ABCD có $\widehat{A}=\widehat{D}=90°$ và $AD=DC$ ($AB<DC$). Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng DA và CB.

Chứng minh rằng $\frac{1}{A{D}^2}=\frac{1}{B{C}^2}+\frac{1}{E{C}^2}.$

Cho tam giác ABC trực tâm H.

Chứng minh hệ thức: $A{B}^2+H{C}^2=B{C}^2+H{A}^2=C{A}^2+H{B}^2.$

Cho hình thang ABCD có $AB\parallel CD,\widehat{C}=30°,\widehat{D}=60°,AD=\mathrm{2,}CD=6.$

a) Tính AB.