Dạng 2: Các bài toán chứng minh có đáp án

42 người thi tuần này 4.6 2 K lượt thi 45 câu hỏi 60 phút

Câu 1

Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 90 °$ , đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là hình chiếu của H trên $A B, A C$ Chứng minh rằng:

a) $\frac{A B^{2}}{A C^{2}} = \frac{H B}{H C} (1) .$

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Từ đẳng thức cần chứng minh, ta sẽ biến đổi vế trái. Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABC vuông tại A:

$A B^{2} = B H . B C, A C^{2} = C H . C B$

(đến đây đã xuất hiện HB, HC giống VP (1)).

Từ đó suy ra: $\frac{A B^{2}}{A C^{2}} = \frac{B H . B C}{C H . C B} = \frac{H B}{H C}$ (đpcm).

Câu 2

b) $D E^{3} = B D . C E . B C (2) .$

Xem đáp án

Lời giải

b) Dễ thấy tứ giác AEHD là hình chữ nhật nên ta có: $D E = A H$

Áp dụng hệ thức lượng cho các tam giác vuông ABC, AHB, AHC ta có:

$A H^{2} = B H . C H, H B^{2} = B D . A B, H C^{2} = C E . C A$

$\Rightarrow A H^{4} = B H^{2} . C H^{2} = B D . A B . C E . C A = B D . C E . A B . A C .$

Mặt khác $A B . A C = A H . B C$ nên $A H^{4} = B D . C E . A H . B C$ hay $D E^{3} = B D . C E . B C$ (đpcm).

Câu 3

Cho tam giác ABC, đường cao AH. Chứng minh rằng

$H C^{2} - H B^{2} = A C^{2} - A B^{2} .$

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Lưu ý rằng các hệ thức đã được nêu chỉ sử dụng cho tam giác vuông. Do vậy ở đây ta sẽ áp dụng cho hai tam giác AHB và AHC.

Trong tam giác AHC ta có: $C H^{2} = A C^{2} - A H^{2.}$ (Pitago).

Trong tam giác AHB ta có: $B H^{2} = A B^{2} - A H^{2}$ (Pitago).

Từ đó:

$C H^{2} - B H^{2} = (A C^{2} - A H^{2.}) - (A B^{2} - A H^{2}) = A C^{2} - A B^{2} .$

Câu 4

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH, BK. Chứng minh rằng

$\frac{1}{B K^{2}} = \frac{1}{B C^{2}} + \frac{1}{4 A H^{2}} .$

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Từ B kẻ đường thẳng song song với AH cắt tia CA tại M. Do tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao nên H là trung điểm của cạnh BC. Từ đó suy ra A là trung điểm của MC hay AH là đường trung bình của tam giác BMC.

Do vậy $B M = 2 A H .$

Lại có do $M B ∥ A H$ nên $M B ⊥ B C$ hay tam giác MBC vuông tại B. Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông MBC ta có:

$\frac{1}{B K^{2}} = \frac{1}{B M^{2}} + \frac{1}{B C^{2}} = \frac{1}{4 A H^{2}} + \frac{1}{B C^{2}}$ (đpcm).

Câu 5

Tính x và y trong các hình sau:

Xem đáp án

Lời giải

a) Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ABC ta có:

$A B^{2} = B H . C B \Rightarrow 15^{2} = 9. C B \Rightarrow C B = 25 \Rightarrow 9 + x = 25 \Rightarrow x = 16$

$A H^{2} = B H . C H = 9. x = 9.16 \Rightarrow A H = 12.$

Câu 6

Tính x và y trong các hình sau:

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử