Dạng 2: Các bài toán chứng minh có đáp án

30 người thi tuần này 4.6 3.7 K lượt thi 45 câu hỏi 60 phút

🔥 Học sinh cũng đã học

84 người thi tuần này

Đề KSCL Toán 9 tháng 10 năm 2026-2027 Trường THCS Từ Liêm 1 (Hà Nội) có đáp án

567 lượt thi 8 câu hỏi

62 người thi tuần này

Đề KSCL Toán 9 tháng 10 năm 2026-2027 Trường THCS Kim Giang (Hà Nội) có đáp án

545 lượt thi 8 câu hỏi

39 người thi tuần này

Đề KSCL Toán 9 tháng 9 năm 2026-2027 Xã Đại Thanh (Hà Nội) có đáp án

522 lượt thi 8 câu hỏi

36 người thi tuần này

Đề KSCL Toán 9 tháng 9 năm 2026-2027 Trường THCS Hồng Vân (Hà Nội) có đáp án

519 lượt thi 9 câu hỏi

39 người thi tuần này

Đề KSCL Toán 9 tháng 9 năm 2026-2027 Trường THCS Ngô Sĩ Liên (Hà Nội) có đáp án

522 lượt thi 7 câu hỏi

34 người thi tuần này

Đề KSCL Toán 9 tháng 9 năm 2026-2027 Trường THCS&THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) có đáp án

517 lượt thi 8 câu hỏi

30 người thi tuần này

Đề KSCL Toán 9 tháng 9 năm 2026-2027 Trường THCS Yên Hòa (Hà Nội) có đáp án

513 lượt thi 8 câu hỏi

36 người thi tuần này

Đề KSCL Toán 9 tháng 9 năm 2026-2027 Trường THCS Giảng Võ (Hà Nội) có đáp án

519 lượt thi 10 câu hỏi

Danh sách câu hỏi:

Câu 1/45

Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 90 °$ , đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là hình chiếu của H trên $A B, A C$ Chứng minh rằng:

a) $\frac{A B^{2}}{A C^{2}} = \frac{H B}{H C} (1) .$

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Từ đẳng thức cần chứng minh, ta sẽ biến đổi vế trái. Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABC vuông tại A:

$A B^{2} = B H . B C, A C^{2} = C H . C B$

(đến đây đã xuất hiện HB, HC giống VP (1)).

Từ đó suy ra: $\frac{A B^{2}}{A C^{2}} = \frac{B H . B C}{C H . C B} = \frac{H B}{H C}$ (đpcm).

Câu 2/45

b) $D E^{3} = B D . C E . B C (2) .$

Xem đáp án

Lời giải

b) Dễ thấy tứ giác AEHD là hình chữ nhật nên ta có: $D E = A H$

Áp dụng hệ thức lượng cho các tam giác vuông ABC, AHB, AHC ta có:

$A H^{2} = B H . C H, H B^{2} = B D . A B, H C^{2} = C E . C A$

$\Rightarrow A H^{4} = B H^{2} . C H^{2} = B D . A B . C E . C A = B D . C E . A B . A C .$

Mặt khác $A B . A C = A H . B C$ nên $A H^{4} = B D . C E . A H . B C$ hay $D E^{3} = B D . C E . B C$ (đpcm).

Câu 3/45

Cho tam giác ABC, đường cao AH. Chứng minh rằng

$H C^{2} - H B^{2} = A C^{2} - A B^{2} .$

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Lưu ý rằng các hệ thức đã được nêu chỉ sử dụng cho tam giác vuông. Do vậy ở đây ta sẽ áp dụng cho hai tam giác AHB và AHC.

Trong tam giác AHC ta có: $C H^{2} = A C^{2} - A H^{2.}$ (Pitago).

Trong tam giác AHB ta có: $B H^{2} = A B^{2} - A H^{2}$ (Pitago).

Từ đó:

$C H^{2} - B H^{2} = (A C^{2} - A H^{2.}) - (A B^{2} - A H^{2}) = A C^{2} - A B^{2} .$

Câu 4/45

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH, BK. Chứng minh rằng

$\frac{1}{B K^{2}} = \frac{1}{B C^{2}} + \frac{1}{4 A H^{2}} .$

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Từ B kẻ đường thẳng song song với AH cắt tia CA tại M. Do tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao nên H là trung điểm của cạnh BC. Từ đó suy ra A là trung điểm của MC hay AH là đường trung bình của tam giác BMC.

Do vậy $B M = 2 A H .$

Lại có do $M B ∥ A H$ nên $M B ⊥ B C$ hay tam giác MBC vuông tại B. Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông MBC ta có:

$\frac{1}{B K^{2}} = \frac{1}{B M^{2}} + \frac{1}{B C^{2}} = \frac{1}{4 A H^{2}} + \frac{1}{B C^{2}}$ (đpcm).

Câu 5/45

Tính x và y trong các hình sau:

Xem đáp án

Lời giải

a) Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ABC ta có:

$A B^{2} = B H . C B \Rightarrow 15^{2} = 9. C B \Rightarrow C B = 25 \Rightarrow 9 + x = 25 \Rightarrow x = 16$

$A H^{2} = B H . C H = 9. x = 9.16 \Rightarrow A H = 12.$

Câu 6/45

Tính x và y trong các hình sau:

Xem đáp án

Lời giải

b) Áp dụng Pitago cho tam giác vuông MNP ta có:

$y^{2} = N P^{2} = M N^{2} + N P^{2} = 5^{2} + 12^{2} \Rightarrow y = 13.$

Lại có $M N . M P = M I . N P$ nên $x . y = 5.12 \Rightarrow x \approx 4,62 c m .$

Câu 7/45

Tính x và y trong các hình sau:

Xem đáp án

Lời giải

c) Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông CDE ta có:

$D E^{2} = E F . E C$ hay $y^{2} = 8.10 \Rightarrow y = 4 \sqrt{5} .$

$D C^{2} = C F . C E$ hay $x^{2} = 2.10 \Rightarrow x = 2 \sqrt{5} .$

Câu 8/45

Tính x và y trong các hình sau:

Xem đáp án

Lời giải

d) $C F^{2} = C D^{2} - D F^{2} = 12^{2} - 9^{2} = 63 \Rightarrow C F = 3 \sqrt{7} .$

$D F^{2} = C F . E F \Rightarrow 9^{2} = 3 \sqrt{7} . x \Rightarrow x = \frac{27 \sqrt{7}}{7} .$

$y^{2} = D F^{2} + E F^{2} = 9^{2} + {(\frac{27 \sqrt{7}}{7})}^{2} \approx 185,14 \Rightarrow y \approx 13,61.$

$D F^{2} = C F . E F \Rightarrow 9^{2} = 3 \sqrt{7} . x \Rightarrow x = \frac{27 \sqrt{7}}{7} .$

Câu 9/45