a) Từ đẳng thức cần chứng minh, ta sẽ biến đổi vế trái. Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABC vuông tại A:

$A{B}^2=BH.BC,A{C}^2=CH.CB$

(đến đây đã xuất hiện HB, HC giống VP (1)).

Từ đó suy ra: $\frac{A{B}^2}{A{C}^2}=\frac{BH.BC}{CH.CB}=\frac{HB}{HC}$(đpcm).

b) Dễ thấy tứ giác AEHD là hình chữ nhật nên ta có: $DE=AH$

Áp dụng hệ thức lượng cho các tam giác vuông ABC, AHB, AHC ta có:

$A{H}^2=BH.CH,H{B}^2=BD.AB,H{C}^2=CE.CA$

$\Rightarrow A{H}^4=B{H}^2.C{H}^2=BD.AB.CE.CA=BD.CE.AB.AC.$

Mặt khác $AB.AC=AH.BC$ nên $A{H}^4=BD.CE.AH.BC$ hay $D{E}^3=BD.CE.BC$ (đpcm).

Lưu ý rằng các hệ thức đã được nêu chỉ sử dụng cho tam giác vuông. Do vậy ở đây ta sẽ áp dụng cho hai tam giác AHB và AHC.

Trong tam giác AHC ta có: $C{H}^2=A{C}^2-A{H}^{2.}$(Pitago).

Trong tam giác AHB ta có: $B{H}^2=A{B}^2-A{H}^2$(Pitago).

Từ đó:

$C{H}^2-B{H}^2=\left(A{C}^2-A{H}^{2.}\right)-\left(A{B}^2-A{H}^2\right)=A{C}^2-A{B}^2.$

Từ B kẻ đường thẳng song song với AH cắt tia CA tại M. Do tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao nên H là trung điểm của cạnh BC. Từ đó suy ra A là trung điểm của MC hay AH là đường trung bình của tam giác BMC.

Do vậy $BM=2AH.$

Lại có do $MB\parallel AH$nên $MB\perp BC$ hay tam giác MBC vuông tại B. Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông MBC ta có:

$\frac{1}{B{K}^2}=\frac{1}{B{M}^2}+\frac{1}{B{C}^2}=\frac{1}{4A{H}^2}+\frac{1}{B{C}^2}$ (đpcm).

a) Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ABC ta có:

$A{B}^2=BH.CB\Rightarrow {15}^2=9.CB\Rightarrow CB=25\Rightarrow 9+x=25\Rightarrow x=16$

$A{H}^2=BH.CH=9.x=9.16\Rightarrow AH=12.$