Dạng 2: Các bài toán chứng minh có đáp án

a) Từ đẳng thức cần chứng minh, ta sẽ biến đổi vế trái. Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABC vuông tại A:

$A{B}^2=BH.BC,A{C}^2=CH.CB$

(đến đây đã xuất hiện HB, HC giống VP (1)).

Từ đó suy ra: $\frac{A{B}^2}{A{C}^2}=\frac{BH.BC}{CH.CB}=\frac{HB}{HC}$(đpcm).

b) Dễ thấy tứ giác AEHD là hình chữ nhật nên ta có: $DE=AH$

Áp dụng hệ thức lượng cho các tam giác vuông ABC, AHB, AHC ta có:

$A{H}^2=BH.CH,H{B}^2=BD.AB,H{C}^2=CE.CA$

$\Rightarrow A{H}^4=B{H}^2.C{H}^2=BD.AB.CE.CA=BD.CE.AB.AC.$

Mặt khác $AB.AC=AH.BC$ nên $A{H}^4=BD.CE.AH.BC$ hay $D{E}^3=BD.CE.BC$ (đpcm).

Lưu ý rằng các hệ thức đã được nêu chỉ sử dụng cho tam giác vuông. Do vậy ở đây ta sẽ áp dụng cho hai tam giác AHB và AHC.

Trong tam giác AHC ta có: $C{H}^2=A{C}^2-A{H}^{2.}$(Pitago).

Trong tam giác AHB ta có: $B{H}^2=A{B}^2-A{H}^2$(Pitago).

Từ đó:

$C{H}^2-B{H}^2=\left(A{C}^2-A{H}^{2.}\right)-\left(A{B}^2-A{H}^2\right)=A{C}^2-A{B}^2.$

Từ B kẻ đường thẳng song song với AH cắt tia CA tại M. Do tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao nên H là trung điểm của cạnh BC. Từ đó suy ra A là trung điểm của MC hay AH là đường trung bình của tam giác BMC.

Do vậy $BM=2AH.$

Lại có do $MB\parallel AH$nên $MB\perp BC$ hay tam giác MBC vuông tại B. Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông MBC ta có:

$\frac{1}{B{K}^2}=\frac{1}{B{M}^2}+\frac{1}{B{C}^2}=\frac{1}{4A{H}^2}+\frac{1}{B{C}^2}$ (đpcm).

a) Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ABC ta có:

$A{B}^2=BH.CB\Rightarrow {15}^2=9.CB\Rightarrow CB=25\Rightarrow 9+x=25\Rightarrow x=16$

$A{H}^2=BH.CH=9.x=9.16\Rightarrow AH=12.$

b) Áp dụng Pitago cho tam giác vuông MNP ta có:

$y^2=N{P}^2=M{N}^2+N{P}^2=5^2+{12}^2\Rightarrow y=13.$

Lại có $MN.MP=MI.NP$nên $x.y=5.12\Rightarrow x\approx \mathrm{4,62}cm.$

c) Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông CDE ta có:

$D{E}^2=EF.EC$hay$y^2=8.10\Rightarrow y=4\sqrt{5}.$

$D{C}^2=CF.CE$hay $x^2=2.10\Rightarrow x=2\sqrt{5}.$

d) $C{F}^2=C{D}^2-D{F}^2={12}^2-9^2=63\Rightarrow CF=3\sqrt{7}.$

$D{F}^2=CF.EF\Rightarrow 9^2=3\sqrt{7}.x\Rightarrow x=\frac{27\sqrt{7}}{7}.$

$y^2=D{F}^2+E{F}^2=9^2+{\left(\frac{27\sqrt{7}}{7}\right)}^2\approx \mathrm{185,14}\Rightarrow y\approx \mathrm{13,61.}$

$D{F}^2=CF.EF\Rightarrow 9^2=3\sqrt{7}.x\Rightarrow x=\frac{27\sqrt{7}}{7}.$