Dạng 2: Các bài toán chứng minh có đáp án

28 người thi tuần này 4.6 1.8 K lượt thi 45 câu hỏi 60 phút

Câu 1

Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 90 °$ , đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là hình chiếu của H trên $A B, A C$ Chứng minh rằng:

a) $\frac{A B^{2}}{A C^{2}} = \frac{H B}{H C} (1) .$

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Từ đẳng thức cần chứng minh, ta sẽ biến đổi vế trái. Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABC vuông tại A:

$A B^{2} = B H . B C, A C^{2} = C H . C B$

(đến đây đã xuất hiện HB, HC giống VP (1)).

Từ đó suy ra: $\frac{A B^{2}}{A C^{2}} = \frac{B H . B C}{C H . C B} = \frac{H B}{H C}$ (đpcm).

Câu 2

b) $D E^{3} = B D . C E . B C (2) .$

Xem đáp án

Lời giải

b) Dễ thấy tứ giác AEHD là hình chữ nhật nên ta có: $D E = A H$

Áp dụng hệ thức lượng cho các tam giác vuông ABC, AHB, AHC ta có:

$A H^{2} = B H . C H, H B^{2} = B D . A B, H C^{2} = C E . C A$

$\Rightarrow A H^{4} = B H^{2} . C H^{2} = B D . A B . C E . C A = B D . C E . A B . A C .$

Mặt khác $A B . A C = A H . B C$ nên $A H^{4} = B D . C E . A H . B C$ hay $D E^{3} = B D . C E . B C$ (đpcm).

Câu 3

Cho tam giác ABC, đường cao AH. Chứng minh rằng

$H C^{2} - H B^{2} = A C^{2} - A B^{2} .$

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Lưu ý rằng các hệ thức đã được nêu chỉ sử dụng cho tam giác vuông. Do vậy ở đây ta sẽ áp dụng cho hai tam giác AHB và AHC.

Trong tam giác AHC ta có: $C H^{2} = A C^{2} - A H^{2.}$ (Pitago).

Trong tam giác AHB ta có: $B H^{2} = A B^{2} - A H^{2}$ (Pitago).

Từ đó:

$C H^{2} - B H^{2} = (A C^{2} - A H^{2.}) - (A B^{2} - A H^{2}) = A C^{2} - A B^{2} .$

Câu 4

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH, BK. Chứng minh rằng

$\frac{1}{B K^{2}} = \frac{1}{B C^{2}} + \frac{1}{4 A H^{2}} .$

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Từ B kẻ đường thẳng song song với AH cắt tia CA tại M. Do tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao nên H là trung điểm của cạnh BC. Từ đó suy ra A là trung điểm của MC hay AH là đường trung bình của tam giác BMC.

Do vậy $B M = 2 A H .$

Lại có do $M B ∥ A H$ nên $M B ⊥ B C$ hay tam giác MBC vuông tại B. Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông MBC ta có:

$\frac{1}{B K^{2}} = \frac{1}{B M^{2}} + \frac{1}{B C^{2}} = \frac{1}{4 A H^{2}} + \frac{1}{B C^{2}}$ (đpcm).

Câu 5

Tính x và y trong các hình sau:

Xem đáp án

Lời giải

a) Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ABC ta có:

$A B^{2} = B H . C B \Rightarrow 15^{2} = 9. C B \Rightarrow C B = 25 \Rightarrow 9 + x = 25 \Rightarrow x = 16$

$A H^{2} = B H . C H = 9. x = 9.16 \Rightarrow A H = 12.$

Câu 6

Tính x và y trong các hình sau:

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Dạng 2: Các bài toán chứng minh có đáp án

🔥 Đề thi HOT:

Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án

Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án

15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án

Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án

12 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến bất đẳng thức có lời giải

Tổng hợp các bài toán thực tế ôn thi vào 10 Toán 9 có đáp án (Phần 2: Hình học)

12 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến bất phương trình bậc nhất một ẩn có lời giải

Chuyên đề 8: Hình học (có đáp án)

Nội dung liên quan:

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 1: Biểu thức số có đáp án

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 2-1: Biểu thức chứa chữ có đáp án

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 2-2: Hàm số và đồ thị có đáp án

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 3: Phương trình có đáp án

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 4: Hệ phương trình có đáp án

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 5: Các bài toán thực tế giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình có đáp án

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 1: Tam giác đồng dạng, Định lí Talet có đáp án

Trắc nghiệm Chuyên đề Toán 9 Chuyên đề 2: Tổng quan về đường tròn có đáp án

Trắc nghiệm Chuyên đề Toán 9 Chuyên đề 3: Vị trí tương đối của đường thằng và đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn có đáp án

Danh sách câu hỏi:

Cho tam giác ABC có A^=90°, đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB,AC Chứng minh rằng: a) AB2AC2=HBHC (1).

b) DE3=BD.CE.BC (2).

Cho tam giác ABC, đường cao AH. Chứng minh rằng HC2−HB2=AC2−AB2.

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH, BK. Chứng minh rằng 1BK2=1BC2+14AH2.

Tính x và y trong các hình sau:

Tính x và y trong các hình sau:

Tính x và y trong các hình sau:

Tính x và y trong các hình sau:

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH,AB=6 cm, AC=8 cm. a) Tính độ dài BC,HA,HB,HC.

b) Tia phân giác góc BAC cắt BC tại D. Tính diện tích tam giác ABD.

Cho tam giác ABC vuông góc tại A. Biết BC=25 cm, AB=20 cm. a) Tính độ dài cạnh AC, đường cao AH, các đoạn thẳng BH và CH.

b) Kẻ từ H đường thẳng (d) song song với AB và cắt cạnh AC tại N. Tính độ dài các đoạn thẳng HN, AN và CN.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường phân giác AD. Cho biết HB= 112, HC=63. a) Tính độ dài AH.

b) Tính độ dài AD.

Cho tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết AC= 4 cm, BD=5 cm, AOB^=50°. Tính diện tích tứ giác ABCD.

Cho tam giác ABC có B^=60°, BC= 8 cm, AB+AC=12 cm. Tính độ dài cạnh AB.

Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AD= 6 cm, CD=8 cm. Đường thẳng kẻ từ D vuông góc với AC tại E, cắt cạnh AB tại F. Tính độ dài đoạn thẳng DE, AE, AF, BF.

Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn CD=10 cm, đáy nhỏ bằng đường cao. Đường chéo vuông góc với cạnh bên. Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó.

Tính chiều cao của một cột tháp, biết rằng lúc mặt trời ở độ cao 50° (nghĩa là tia sáng của mặt trời tạo với phương nằm ngang của mặt đất một góc bằng 50°) thì bóng của nó trên mặt đất dài 96m.

Cho hình thang cân ABCD (AB∥CD và AB<CD), BC=15cm; đường cao BH= 12 cm, DH=16 cm. a) Chứng minh BD vuông góc với BC.

b) Tính diện tích hình thang ABCD.

c) Tính BCD^ (làm tròn đến độ)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết ABAC=2021 và AH=420 Tính chu vi tam giác ABC.

Cho hình thang ABCD vuông góc tại A và D. Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Biết AB=23, OA=6. Tính diện tích hình thang ABCD.

Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC. Biết AD=5a, AC=12a. a) Tính sinB+cosBsinB−cosB.

b) Tính diện tích hình thang ABCD.

Cho tam giác ABC có AB= 24 cm, AC=18 cm, BC=30 cm. a) Tính đườn cao AH, số đo góc B và C.

b) Phân giác của góc A cắt BC tại D. Tính BD, CD.

c) Từ D kẻ DE và DF lần lượt vuông góc với AB và AC. Tứ giác AEDF là hình gì? Tính chu vi và diện tích tứ giác AEDF.

Cho hình thang ABCD có AB∥CD, C^=30°, D^=60°, AD= 2, CD=6. a) Tính AB.

b) Tính diện tích hình thang ABCD.

Cho tam giác ABC trực tâm H. Chứng minh hệ thức: AB2+HC2=BC2+HA2=CA2+HB2.

Cho hình vuông ABCD và điểm I thay đổi nằm trên cạnh AB. Tia DI cắt đường thẳng BC tại E. Đường thẳng kẻ qua D vuông góc với DE cắt đường thẳng BC tại F. Chứng minh rằng tổng 1DI2+1DE2 không phụ thuộc vào vị trí của điểm I.

Cho hình thang vuông ABCD có A^= D^=90° và AD= DC (AB<DC). Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng DA và CB. Chứng minh rằng 1AD2=1BC2+1EC2.

Cho tứ giác ABCD có D^+C^=90°. Chứng minh rằng AB2+CD2=AC2+BD2.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, kẻ đường cao AH. a) Chứng minh sinA+cosA>1.

b) Chứng minh BC=AH (cotB+cotC).

Cho tam giác nhọn ABC. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C. a) Chứng minh asinA=bsinB=csinC.

b) Có thể xảy ra đẳng thức sinA=sinB+sinC không?

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=a, AC=3a. Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho AD=DE=EC. a) Chứng minh DEDB=DBDC.

b) Chứng minh ΔBDE~ΔCDB.

c) Tính tổng AEB^+BCD^.

Cho tam giác ABC có ba đường cao AM, BN, CL. Chứng minh: a) ΔANL~ΔABC.

b) AN.BL.CM=AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.

Cho tam giác ABC có AB>AC, trung tuyến AM và đường cao AH. Chứng minh: AB2+AC2=2AM2+BC22.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 90 °$ , đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là hình chiếu của H trên $A B, A C$ Chứng minh rằng:

a) $\frac{A B^{2}}{A C^{2}} = \frac{H B}{H C} (1) .$

b) $D E^{3} = B D . C E . B C (2) .$

Cho tam giác ABC, đường cao AH. Chứng minh rằng

$H C^{2} - H B^{2} = A C^{2} - A B^{2} .$

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH, BK. Chứng minh rằng

$\frac{1}{B K^{2}} = \frac{1}{B C^{2}} + \frac{1}{4 A H^{2}} .$

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao $A H, A B = 6 c m, A C = 8 c m .$

a) Tính độ dài $B C, H A, H B, H C .$

Cho tam giác ABC vuông góc tại A. Biết $B C = 25 c m, A B = 20 c m .$

a) Tính độ dài cạnh AC, đường cao AH, các đoạn thẳng BH và CH.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường phân giác AD. Cho biết $H B = 112, H C = 63.$

a) Tính độ dài AH.

Cho tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết $A C = 4 c m, B D = 5 c m,$ $\hat{A O B} = 50 ° .$ Tính diện tích tứ giác ABCD.

Cho tam giác ABC có $\hat{B} = 60 °, B C = 8 c m, A B + A C = 12 c m .$ Tính độ dài cạnh AB.

Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh $A D = 6 c m, C D = 8 c m .$ Đường thẳng kẻ từ D vuông góc với AC tại E, cắt cạnh AB tại F. Tính độ dài đoạn thẳng DE, AE, AF, BF.

Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn $C D = 10 c m$ , đáy nhỏ bằng đường cao. Đường chéo vuông góc với cạnh bên. Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó.

Tính chiều cao của một cột tháp, biết rằng lúc mặt trời ở độ cao $50 °$ (nghĩa là tia sáng của mặt trời tạo với phương nằm ngang của mặt đất một góc bằng $50 °$ ) thì bóng của nó trên mặt đất dài 96m.

Cho hình thang cân ABCD ( $A B ∥ C D$ và $A B < C D$ ), $B C = 15 c m$ ; đường cao $B H = 12 c m, D H = 16 c m .$

a) Chứng minh BD vuông góc với BC.

c) Tính $\hat{B C D}$ (làm tròn đến độ)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết $\frac{A B}{A C} = \frac{20}{21}$ và $A H = 420$ Tính chu vi tam giác ABC.

Cho hình thang ABCD vuông góc tại A và D. Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Biết $A B = 2 \sqrt{3}, O A = 6.$ Tính diện tích hình thang ABCD.

Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC. Biết $A D = 5 a, A C = 12 a .$

a) Tính $\frac{\sin B + \cos B}{\sin B - \cos B} .$

Cho tam giác ABC có $A B = 24 c m, A C = 18 c m, B C = 30 c m .$

a) Tính đườn cao AH, số đo góc B và C.

c) Từ D kẻ DE và DF lần lượt vuông góc với AB và AC. Tứ giác AEDF là hình gì?

Tính chu vi và diện tích tứ giác AEDF.

Cho hình thang ABCD có $A B ∥ C D, \hat{C} = 30 °, \hat{D} = 60 °, A D = 2, C D = 6.$

a) Tính AB.

Cho tam giác ABC trực tâm H.

Chứng minh hệ thức: $A B^{2} + H C^{2} = B C^{2} + H A^{2} = C A^{2} + H B^{2} .$

Cho hình thang vuông ABCD có $\hat{A} = \hat{D} = 90 °$ và $A D = D C$ ( $A B < D C$ ). Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng DA và CB.

Chứng minh rằng $\frac{1}{A D^{2}} = \frac{1}{B C^{2}} + \frac{1}{E C^{2}} .$

Cho tứ giác ABCD có $\hat{D} + \hat{C} = 90 °$ . Chứng minh rằng $A B^{2} + C D^{2} = A C^{2} + B D^{2} .$

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, kẻ đường cao AH.

a) Chứng minh $\sin A + \cos A > 1.$

b) Chứng minh $B C = A H (c o t B + \cot C) .$

Cho tam giác nhọn ABC. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C.

a) Chứng minh $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} .$

b) Có thể xảy ra đẳng thức $s i n A = \sin B + \sin C$ không?

Cho tam giác ABC vuông tại A, $A B = a, A C = 3 a .$ Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho $A D = D E = E C .$

a) Chứng minh $\frac{D E}{D B} = \frac{D B}{D C} .$

b) Chứng minh $Δ B D E ~ Δ C D B .$

c) Tính tổng $\hat{A E B} + \hat{B C D} .$

Cho tam giác ABC có ba đường cao AM, BN, CL. Chứng minh:

a) $Δ A N L ~ Δ A B C .$

b) $A N . B L . C M = A B . B C . C A . \cos A . \cos B . \cos C .$

Cho tam giác ABC có $A B > A C$ , trung tuyến AM và đường cao AH. Chứng minh:

$A B^{2} + A C^{2} = 2 A M^{2} + \frac{B C^{2}}{2} .$