Dạng 1: Các bài toán tính toán có đáp án

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ABC ta có:

$A{C}^2=CH.CB\iff {10}^2=8(8+x)\iff x=\mathrm{4,5.}$

Lại có $A{B}^2=BH.BC\iff y^2=\mathrm{4,5}(8+\mathrm{4,5})\iff y=\mathrm{7,5.}$

Vậy $x=\mathrm{4,5}$và $y=\mathrm{7,5.}$

Theo định nghĩa, $\tan B=\frac{AC}{AB}$ nên từ giả thiết ta có: $\frac{AC}{6}=\frac{5}{12}\iff AC=\mathrm{2,5}cm.$

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=6^2+{\mathrm{2,5}}^2=\mathrm{42,25}\Rightarrow BC=\mathrm{6,5}cm.$

Vậy $AC=\mathrm{2,5}cm$và $BC=\mathrm{6,5}cm.$

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABC ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2\Rightarrow A{C}^2=5^2-3^2\Rightarrow AC=4cm.$

Theo định nghĩa:

$\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{5};cosB=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{5};$

$\tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{3};\cot B=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}.$

Diện tích hình thang được tính bởi công thức

$S=\frac{1}{2}h(AB+CD).$

(Trong đó: h là chiều cao của hình thang).

Đối với bài tập này, chúng ta đã biết độ dài hai cạnh đáy. Do vậy, ta cần tìm chiều cao.

Kẻ $AH\perp CD,BK\perp CD.$

Do ABCD là hình thang cân nên $HK=AB=12cm;$

$DH=KC=\frac{CD-AB}{2}=3cm.$

Trong tam giác AHD vuông tại H ta có:

$\tan D=\frac{AH}{DH}\Rightarrow \tan 75°=\frac{AH}{3}\Rightarrow AH\approx \mathrm{11,196}cm.$

Từ đó, $S_{ABCD}=\frac{1}{2}AH.(AB+CD)=\frac{1}{2}\mathrm{.11,196.}(12+18)=\mathrm{167,94}c{m}^2.$

Ÿ Để tính chu vi hình thang, ta cần tính AD.

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ADH ta có:

$A{D}^2=A{H}^2+H{D}^2\approx \mathrm{134,35}$, suy ra $AD\approx \mathrm{11,59}cm.$

Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng công thức tỉ số lượng giác của góc trong tam giác vuông ADH để tính AD.

Do đó, chu vi hình thang cân ABCD là:

$AB+BC+CD+DA=12+\mathrm{11,59}+18+\mathrm{11,59}=\mathrm{53,18}cm.$

a) Giải tam giác là tìm độ dài các cạnh và số đo các góc của tam giác đó.

Ta có $\frac{4}{5}=\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{12}{BC}\Rightarrow BC=15cm.$

Áp dụng định lý Pitago ta có:

$A{B}^2=B{C}^2-A{C}^2=81\Rightarrow AB=9cm.$

Sử dụng máy tính bỏ túi với $\cos C=\frac{4}{5}$ ta được $\widehat{C}\approx 37°$.

Tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{B}=90°-\widehat{C}\approx 53°.$

b) Từ hệ thức $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$ ta tính được $AH=\mathrm{7,2}cm.$

Theo tính chất đường phân giác:

$\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{BD+DC}{AB+AC}=\frac{BC}{AB+AC}=\frac{15}{12+9}=\frac{5}{7}\Rightarrow BD=\frac{45}{7}cm.$

Lại có $A{B}^2=BC.BH$ nên $BH=\frac{A{B}^2}{BC}=\mathrm{5,4}cm.$

Nhận xét thấy $BD>BH$ nên H nằm giữa B và D. Từ đó, ta có: $HD=BD-BH=\frac{36}{35}$.

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông AHD ta có:

$A{D}^2=A{H}^2+H{D}^2={\mathrm{7,2}}^2+{\mathrm{1,03}}^2=\mathrm{52,9009}\Rightarrow AD\approx \mathrm{7,27}cm.$

Vậy $AH=\mathrm{7,2}cm,AD\approx \mathrm{7,27}cm.$