b) Tính độ dài đường cao AH và đường phân giác AD của tam giác ABC.

Theo định nghĩa, $\tan B=\frac{AC}{AB}$ nên từ giả thiết ta có: $\frac{AC}{6}=\frac{5}{12}\iff AC=\mathrm{2,5}cm.$

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=6^2+{\mathrm{2,5}}^2=\mathrm{42,25}\Rightarrow BC=\mathrm{6,5}cm.$

Vậy $AC=\mathrm{2,5}cm$và $BC=\mathrm{6,5}cm.$

Diện tích hình thang được tính bởi công thức

$S=\frac{1}{2}h(AB+CD).$

(Trong đó: h là chiều cao của hình thang).

Đối với bài tập này, chúng ta đã biết độ dài hai cạnh đáy. Do vậy, ta cần tìm chiều cao.

Kẻ $AH\perp CD,BK\perp CD.$

Do ABCD là hình thang cân nên $HK=AB=12cm;$

$DH=KC=\frac{CD-AB}{2}=3cm.$

Trong tam giác AHD vuông tại H ta có:

$\tan D=\frac{AH}{DH}\Rightarrow \tan 75°=\frac{AH}{3}\Rightarrow AH\approx \mathrm{11,196}cm.$

Từ đó, $S_{ABCD}=\frac{1}{2}AH.(AB+CD)=\frac{1}{2}\mathrm{.11,196.}(12+18)=\mathrm{167,94}c{m}^2.$

Ÿ Để tính chu vi hình thang, ta cần tính AD.

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ADH ta có:

$A{D}^2=A{H}^2+H{D}^2\approx \mathrm{134,35}$, suy ra $AD\approx \mathrm{11,59}cm.$

Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng công thức tỉ số lượng giác của góc trong tam giác vuông ADH để tính AD.

Do đó, chu vi hình thang cân ABCD là:

$AB+BC+CD+DA=12+\mathrm{11,59}+18+\mathrm{11,59}=\mathrm{53,18}cm.$