Cho tam giác ABC lấy M, N thuộc hai cạnh AB, AC. Nối B với N, C với M. Qua M kẻ đường thẳng song song với BN cắt AC tại I, qua N kẻ đường thẳng song song với CM cắt AB tại K. Chứng minh IK // BC.

\[DE\parallel CM\] nên theo định lí Ta-lét ta có: \[\frac{{MD}}{{MF}} = \frac{{CE}}{{CF}}\].

Mà \[CF = BD\] nên \[\frac{{MD}}{{MF}} = \frac{{CE}}{{BD}}\] (1).

Lại có, do \[DE\parallel BC\] nên theo định lí Ta-lét ta có:

\[\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{CE}} \Rightarrow \frac{{CE}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{AB}}\] (2) .

Từ (1) và (2) ta suy ra \[\frac{{MD}}{{MF}} = \frac{{AC}}{{AB}}\].

Để chứng minh \(\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AD}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{{AC}}{{AI}}\), ta sẽ tìm từng tỉ số \(\frac{{AB}}{{AE}},\frac{{AD}}{{{\rm{AF}}}}\).

Kẻ \(BG\parallel {\rm{EF(G}} \in {\rm{AC),}}\,\,{\rm{DH}}\parallel {\rm{EF(H}} \in {\rm{AC)}}\).

Gọi O là giao điểm của BD và AC.

Khi đó, theo định lí Ta-lét ta có:

\(\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AG}}{{AI}};\frac{{AD}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{{AH}}{{AI}}\).

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AD}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{{AG}}{{AI}} + \frac{{AH}}{{AI}} = \frac{{AG + AH}}{{AI}} = \frac{{2AG + GH}}{{AI}}\)

Do \(BG,\,\,DH\parallel E{\rm{F}}\) nên \({\rm{BG}}\parallel {\rm{DH}} \Rightarrow \widehat {GBO} = \widehat {HDO}\). Từ đó \(\Delta BGO = \Delta DHO\) (g.c.g).

Suy ra \(GO = OH \Rightarrow 2AG + GH = 2AG + 2GO = 2AO = AC\)

Do đó, \(\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AD}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{{AC}}{{AI}}\) (đpcm).