Chủ đề 1: Định lí Ta-lét có đáp án

Theo giả thiết, \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{7}{4} \Rightarrow \frac{{MA}}{7} = \frac{{MB}}{4} = \frac{{MA + MB}}{{7 + 4}} = \frac{{AB}}{{11}} = \frac{{15}}{{11}}\)

\( \Rightarrow MA \approx 9,55cm;\,\,MB \approx 5,45cm\)

Do \(DE\parallel BC\) nên theo định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AE}}{{EC}} \Rightarrow \frac{2}{x} = \frac{3}{7} \Rightarrow x = \frac{{14}}{3}\).

Do \(DE \bot AB,\,\,BC \bot AB\) nên \(DE\parallel BC\).

Từ đó, theo định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} \Rightarrow \frac{3}{y} = \frac{4}{{4 + 2,5}} \Rightarrow y = 4,875\).

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có \(BC = 15cm\). Trên đường cao AH lấy các điểm I, K sao cho \(AK = KI = IH\). Qua I và K vẽ các đường thẳng EF, MN song song với BC (\(E,M \in AB;F,N \in AC\)). Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF.

\(MK\parallel BH\) nên theo định lí Ta-lét ta có:

\(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AH}} = \frac{1}{3}\).

Lại có \(MN\parallel BC\) nên theo định lí Ta-lét ta có:

\(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN = 5cm\).

\(EI\parallel BH\) nên theo định lí Ta-lét ta có:

\(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AI}}{{AH}} = \frac{2}{3}\).

\({\rm{EF}}\parallel BC\) nên theo định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{{\rm{EF}}}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{2}{3} \Rightarrow {\rm{EF}} = 10cm\).

Để chứng minh đẳng thức \(\frac{{AE}}{{AB}} + \frac{{{\rm{AF}}}}{{AC}} = 1\), ta sẽ tìm từng tỉ số

\(\frac{{AE}}{{AB}},\frac{{{\rm{AF}}}}{{AC}}\).

Do \(DE\parallel AC\) nên theo định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}}\) (1).

Do \(DF\parallel AB\) nên theo định lí Ta-lét ta có:

\(\frac{{{\rm{AF}}}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{BC}}\) (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:

\(\frac{{AE}}{{AB}} + \frac{{{\rm{AF}}}}{{AC}} = \frac{{DC}}{{BC}} + \frac{{BD}}{{BC}} = 1\) (đpcm).

Để chứng minh \(\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AD}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{{AC}}{{AI}}\), ta sẽ tìm từng tỉ số \(\frac{{AB}}{{AE}},\frac{{AD}}{{{\rm{AF}}}}\).

Kẻ \(BG\parallel {\rm{EF(G}} \in {\rm{AC),}}\,\,{\rm{DH}}\parallel {\rm{EF(H}} \in {\rm{AC)}}\).

Gọi O là giao điểm của BD và AC.

Khi đó, theo định lí Ta-lét ta có:

\(\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AG}}{{AI}};\frac{{AD}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{{AH}}{{AI}}\).

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AD}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{{AG}}{{AI}} + \frac{{AH}}{{AI}} = \frac{{AG + AH}}{{AI}} = \frac{{2AG + GH}}{{AI}}\)

Do \(BG,\,\,DH\parallel E{\rm{F}}\) nên \({\rm{BG}}\parallel {\rm{DH}} \Rightarrow \widehat {GBO} = \widehat {HDO}\). Từ đó \(\Delta BGO = \Delta DHO\) (g.c.g).

Suy ra \(GO = OH \Rightarrow 2AG + GH = 2AG + 2GO = 2AO = AC\)

Do đó, \(\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AD}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{{AC}}{{AI}}\) (đpcm).