Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn (O). M ; N ; P lần lượt là cá điểm chính giữa các cung nhỏ $\widehat{AB}; \widehat{BC}; \widehat{CA}$. MN và NP cắt AB và AC theo thứ tự ở R và S. Chứng minh rằng: RS // BC và RS đi qua tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

$\widehat{BIN}=\widehat{A_1}+\widehat{B_1}=\frac{{\displaystyle \widehat{A}}+{\displaystyle \widehat{B}}}{2}$ (Góc ngoài của tam giác ABI)
$\Rightarrow \widehat{IBN}=\widehat{BIN}$=> $△$NBI cân tại N => N thuộc trung trực của đoạn thẳng BI.
Ta chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng này chính là RN.
Gọi H là giao điểm của MN và PB. Ta có :
$\widehat{BHN}=\frac{1}{2}\mathrm{sđ}(\widehat{BN}+\widehat{AM}+\widehat{AP})=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{sđ}{\displaystyle \widehat{BC}}+\mathrm{sđ}{\displaystyle \widehat{AB}}+\mathrm{sđ}{\displaystyle \widehat{AC}}}{2}$
Vì $\widehat{BHN}$ là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn và
$\widehat{BN}=\frac{{\displaystyle \widehat{BC}}}{2}; \widehat{AM}=\frac{{\displaystyle \widehat{AB}}}{2}; \widehat{AP}=\frac{{\displaystyle \widehat{AC}}}{2}\Rightarrow \widehat{BHN}=\frac{1}{4}.{360}^{\circ }={90}^{\circ }$
=> RN là trung trực của đoạn thẳng BI => BR = RI
=> RBI cân tại R $\widehat{B_1}=\widehat{RIB} \mathrm{mà} \widehat{B_1}=\widehat{{\mathrm{B}}_2}\Rightarrow \widehat{{\mathrm{B}}_2}=\widehat{\mathrm{RIB}}$
=> IR // BC (Vì tạo với các tuyến BI hai góc so le trong bằng nhau)
Cũng chứng minh tương tự ta cũng được IS // BC, từ điểm I ở ngoài đường thẳng BC ta chỉ có thể kẻ được một đường thẳng song song với BC
=> R ; I ; S thẳng hàng.
Vậy RS // BC và RS đi qua tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Cách giải 2: (Hình 2)