Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn (O). M ; N ; P lần lượt là cá điểm chính giữa các cung nhỏ . MN và NP cắt AB và AC theo thứ tự ở R và S. Chứng minh rằng: RS // BC và RS đi qua tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Cách giải 1: (Hình 1)
Xét NBI ta có: mà (Góc nội tiếp chắn cung );
Do đó
Do đó
(Góc ngoài của tam giác ABI)
=> NBI cân tại N => N thuộc trung trực của đoạn thẳng BI.
Ta chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng này chính là RN.
Gọi H là giao điểm của MN và PB. Ta có :
Vì là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn và
=> RN là trung trực của đoạn thẳng BI => BR = RI
=> RBI cân tại R
=> IR // BC (Vì tạo với các tuyến BI hai góc so le trong bằng nhau)
Cũng chứng minh tương tự ta cũng được IS // BC, từ điểm I ở ngoài đường thẳng BC ta chỉ có thể kẻ được một đường thẳng song song với BC
=> R ; I ; S thẳng hàng.
Vậy RS // BC và RS đi qua tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Cách giải 2: (Hình 2)
Theo giả thiết ta có do đó MN là phân giác của
Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ABN ta có: (1)
Tương tự: NP là phân giác của tam giác ACN => (2)
vì nên BN = CN kết hợp với (1) và (2) ta được
=> RS // BC (định lý Ta-lét đảo)
Gọi giao điểm của RS với AN là I, của BC và AN là D vì RS // BC nên ta có:
mà suy ra
BND ANB (vì có góc chung và )
Nên . Vậy
Suy ra BI là phân giác của góc
Ở trên ta có I thuộc phân giác AN của ta lại vừa chứng minh I thuộc phân giác nên I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.( Đpcm)
Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ABN ta có: (1)
Tương tự: NP là phân giác của tam giác ACN => (2)
vì nên BN = CN kết hợp với (1) và (2) ta được
=> RS // BC (định lý Ta-lét đảo)
Gọi giao điểm của RS với AN là I, của BC và AN là D vì RS // BC nên ta có:
mà suy ra
BND ANB (vì có góc chung và )
Nên . Vậy
Suy ra BI là phân giác của góc
Ở trên ta có I thuộc phân giác AN của ta lại vừa chứng minh I thuộc phân giác nên I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.( Đpcm)
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Cách giải 1:
Vì => tứ giác BDPE là tứ giác nội tiếp
(*)(Góc nội tiếp cùng chắn một cung)
=> tứ giác EFCP cũng là tứ giác nội tiếp
(**) (Góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Vì tứ giác ABPC nội tiếp đường tròn (1)
(2)
Từ (1) và (2)
(***)
Từ (*) ; (**) và (***)
= D ; E ; F thẳng hàng.
Vì => tứ giác BDPE là tứ giác nội tiếp
(*)(Góc nội tiếp cùng chắn một cung)
=> tứ giác EFCP cũng là tứ giác nội tiếp
(**) (Góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Vì tứ giác ABPC nội tiếp đường tròn (1)
(2)
Từ (1) và (2)
(***)
Từ (*) ; (**) và (***)
= D ; E ; F thẳng hàng.
Cách giải 2:
Tứ giác EFCP là tứ giác nội tiếp (1)
Vì tứ giác ABPC nội tiếp đường tròn
Mà (2)
Tứ giác EPDB là tứ giác nội tiếp => ( 3)
Từ (1) ; (2) và (3) ta có :
Suy ra ba điểm D ; E ; F thẳng hàng
Nhắn tin Zalo