Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn (O). M ; N ; P lần lượt là cá điểm chính giữa các cung nhỏ AB^; BC^; CA^. MN và NP cắt AB và AC theo thứ tự ở R và S. Chứng minh rằng: RS // BC và RS đi...

Câu hỏi:

11/07/2024 695

Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn (O). M ; N ; P lần lượt là cá điểm chính giữa các cung nhỏ $\hat{A B}; \hat{B C}; \hat{C A}$ . MN và NP cắt AB và AC theo thứ tự ở R và S. Chứng minh rằng: RS // BC và RS đi qua tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 10: Rèn luyện kĩ năng tìm lời giải bài toán hình học có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cách giải 1: (Hình 1)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn (O). M ; N ; P lần lượt là cá điểm chính giữa các cung nhỏ (ảnh 1)

Xét

△

NBI ta có:

\hat{I B N} = \hat{B_{2}} + \hat{B_{3}}

mà

\hat{B_{2}} = \frac{\hat{C P}}{2}; \hat{B_{3}} = \hat{N A C}

(Góc nội tiếp chắn cung

\hat{N C}

);

\hat{N A C} = \frac{\hat{B A C}}{2}

Do đó

\hat{I B N} = \frac{\hat{A} + \hat{B}}{2}

$\hat{B I N} = \hat{A_{1}} + \hat{B_{1}} = \frac{\hat{A} + \hat{B}}{2}$ (Góc ngoài của tam giác ABI)
$\Rightarrow \hat{I B N} = \hat{B I N}$ => $△$ NBI cân tại N => N thuộc trung trực của đoạn thẳng BI.
Ta chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng này chính là RN.
Gọi H là giao điểm của MN và PB. Ta có :
$\hat{B H N} = \frac{1}{2} sđ (\hat{B N} + \hat{A M} + \hat{A P}) = \frac{1}{2} \frac{sđ \hat{B C} + sđ \hat{A B} + sđ \hat{A C}}{2}$
Vì $\hat{B H N}$ là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn và
$\hat{B N} = \frac{\hat{B C}}{2}; \hat{A M} = \frac{\hat{A B}}{2}; \hat{A P} = \frac{\hat{A C}}{2} \Rightarrow \hat{B H N} = \frac{1}{4} . 360^{\circ} = 90^{\circ}$
=> RN là trung trực của đoạn thẳng BI => BR = RI
=> RBI cân tại R $\hat{B_{1}} = \hat{R I B} mà \hat{B_{1}} = \hat{B_{2}} \Rightarrow \hat{B_{2}} = \hat{RIB}$
=> IR // BC (Vì tạo với các tuyến BI hai góc so le trong bằng nhau)
Cũng chứng minh tương tự ta cũng được IS // BC, từ điểm I ở ngoài đường thẳng BC ta chỉ có thể kẻ được một đường thẳng song song với BC
=> R ; I ; S thẳng hàng.
Vậy RS // BC và RS đi qua tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Cách giải 2: (Hình 2)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn (O). M ; N ; P lần lượt là cá điểm chính giữa các cung nhỏ (ảnh 2)

Theo giả thiết ta có

\hat{M A} = \hat{M B}

do đó MN là phân giác của

\hat{A N B}

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ABN ta có:

\frac{R A}{R B} = \frac{N A}{N B}

(1)
Tương tự: NP là phân giác của tam giác ACN =>

\frac{S A}{S C} = \frac{N A}{N C}

(2)
vì

\hat{B N} = \hat{C N}

nên BN = CN kết hợp với (1) và (2) ta được

\frac{R A}{R B} = \frac{S A}{S C}

=> RS // BC (định lý Ta-lét đảo)
Gọi giao điểm của RS với AN là I, của BC và AN là D vì RS // BC nên ta có:

\frac{A I}{I D} = \frac{R A}{R B}

mà

\frac{N A}{N B} = \frac{R A}{R B}

suy ra

\frac{A I}{I D} = \frac{N A}{N B}

△

BND

~

△

ANB (vì có góc

\hat{B N A}

chung và

\hat{B A N} = \hat{N B D}

)
Nên

\frac{N A}{N B} = \frac{A B}{B D}

. Vậy

\frac{A I}{I D} = \frac{A B}{B D}

Suy ra BI là phân giác của góc

\hat{A B C}

Ở trên ta có I thuộc phân giác AN của

\hat{B A C}

ta lại vừa chứng minh I thuộc phân giác

\hat{A B C}

nên I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.( Đpcm)

Nhà sách vietjack

Xem thêm kho sách »

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Từ một điểm trên đường tròn ngoại tiếp của một tam giác bất kì hạ các đường vuông góc xuống ba cạnh của tam giác ABC nội tiếp đường tròn. Chứng minh rằng chân của ba đường vuông góc đó thẳng hàng

Xem đáp án » 11/07/2024 571

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.