Cho đường tròn (O), hai điểm A, B nằm trên (O) sao cho $\widehat{AOB}={90}^0.$Điểm C nằm trên cung lớn AB sao cho $AC>BC$và tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Các đường cao $AI,BK$ của tam giác ABC cắt nhau tại H. BK cắt (O) tại điểm N (N khác điểm B); AI cắt (O) tại điểm M (khác điểm A), NA cắt MB tại điểm D. Chứng minh rằng

a)     Tứ giác CIHK nội tiếp một đường tròn

a)    Ta có: $\Delta \text{'}=m^2+2m+1={\left(m+1\right)}^2$

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta >0\iff {\left(m+1\right)}^2>0\iff m\ne -1$

Khi $m\ne -1$phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=m+m+1=2m+1\\ x_2=m-\left(m+1\right)=-1\end{array}\right.$

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}\sqrt{x_1+x_2}+\sqrt{3+x_1{x}_2}=2m+1\iff \sqrt{2m}+\sqrt{3-\left(2m+1\right)}=2m+1\iff \sqrt{2m}+\sqrt{2-2m}=2m+1\\ \iff \left\{\begin{array}{l}2m+1\ge 0\\ 2m\ge 0\\ 2-2m\ge 0\\ 2m+2-2m+2\sqrt{2m(2-2m)}=4m^2+4m+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ge -\frac{1}{2}\\ m\ge 0\\ m\le 1\\ 2\sqrt{2m\left(2-2m\right)}=4m^2+4m-1\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}0\le m\le 1\\ 4\left(4m-4m^2\right)=16m^4+16m^2+1+32m^3-8m^2-8m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}0\le m\le 1\\ 16m^4+32m^3+24m^2-24m+1=0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}0\le m\le 1\\ \left(2m-1\right)\left(8m^3+20m^2+22m-1\right)=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}0\le m\le 1\\ \left[\begin{array}{l}m=\frac{1}{2}\\ m\approx \mathrm{0,044}\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=\frac{1}{2}\\ m\approx \mathrm{0,044}\end{array}\right.\left(tm\right)\end{array}$

Vậy $m=\frac{1}{2}$ hoặc $m\approx \mathrm{0,044}$

Gọi số bài kiểm tra 1 tiết đạt điểm 9 là x (bài ) $\left(x\in \mathbb{N}\right)$ và số bài kiểm tra 1 tiết đạt điểm 10 là y (bài)

$\left(y\in \mathbb{N}\right)$

Do số bài kiểm tra 1 tiết đạt điểm 9 và điểm 10 nhiều hơn 16 bài nên $x+y>16\iff 9x+9y>144\left(1\right)$

Tổng số điểm của x bài kiểm tra 1 tiết đạt điểm 9 là 9x (điểm)

Tổng số điểm của y bài kiểm tra 1 tiết đạt điểm 10 là 10y (điểm)

Do tổng số điểm của tất cả các bài kiểm tra đạt 9 điểm và 10 điểm là 160 nên ta có phương trình:

$9x+10y=160\iff 9x=160-10y$

Thay vào (1) ta có: $160-10y+9y>144\iff y<16$

Do $y\in \mathbb{N}\Rightarrow y\in \left\{0;1;2;3;\mathrm{.......};15\right\}$

Ta có:

$x\in \mathbb{N}\Rightarrow 9x=160-10y\equiv 0\left(\mathrm{mod}9\right)\Rightarrow 153+7-9y-y\equiv 0\left(\mathrm{mod}9\right)$

$\begin{array}{l}\iff 7-y\equiv 0\left(\mathrm{mod}9\right)\iff y\equiv 7\left(\mathrm{mod}9\right)\\ \Rightarrow y=7\Rightarrow x=10\left(tm\right)\end{array}$

Vậy số bài kiểm tra 1 tiết đạt điểm 9 là 10 bài và số bài kiểm tra 1 tiết đạt điểm 10 là 7 bài