Câu hỏi:

13/07/2024 1,021

b,Cho hai số thực không âm a,b thỏa mãn $a^{2} + b^{2} = 2.$ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{a^{3} + b^{3} + 4}{a b + 1}$

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1) !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn sử Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Tìm giá trị lớn nhất

Ta có : $a b \geq 0 \Leftrightarrow a b + 1 \geq 1 \Leftrightarrow \frac{1}{a b + 1} \leq 1 \Leftrightarrow M = \frac{a^{3} + b^{3} + 4}{a b + 1} \leq a^{3} + b^{3} + 4$

Ta có: $\{\begin{cases} a, b \geq 0 \\ a^{2} + b^{2} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} \leq 2 \\ b^{2} \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 \leq a^{3} \leq a^{2} \sqrt{2} \\ 0 \leq b^{3} \leq b^{2} \sqrt{2} \end{cases}$

Do đó: $a^{3} + b^{3} + 4 \leq a^{2} \sqrt{2} + b^{2} \sqrt{2} + 4 = \sqrt{2} . (a^{2} + b^{2}) + 4 = 2 \sqrt{2} + 4$

$\Rightarrow M \leq 2 \sqrt{2} + 4$

Dấu $" = "$ xảy ra $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} a^{2} = 2 \\ b^{2} = 2 \\ a b = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} a = \sqrt{2} \\ b = 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} a = 0 \\ b = \sqrt{2} \end{cases} \end{array}$

Vậy $M a x M = 2 \sqrt{2} + 4 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} a = \sqrt{2} \\ b = 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} a = 0 \\ b = \sqrt{2} \end{cases} \end{array}$

Tìm giá trị nhỏ nhất

$\begin{array}{l} a^{3} + b^{3} + 1 \geq 3 \sqrt[3]{a^{3} . b^{3} .1} = 3 a b \\ \Rightarrow a^{3} + b^{3} + 4 \geq 3 a b + 3 = 3 (a b + 1) \\ \Leftrightarrow \frac{a^{3} + b^{3} + 4}{a b + 1} \geq 3 (d o .... a b + 1 > 0) \\ \Leftrightarrow M \geq 1 \end{array}$

Dấu "= " xảy ra

\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b \\ a^{2} + b^{2} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow a = b = 1

Vậy $\min M = 3 \Leftrightarrow a = b = 1$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho phương trình $x^{2} - 2 m x - 2 m - 1 = 0 (1)$ với m là tham số. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ sao cho $\sqrt{x_{1} + x_{2}} + \sqrt{3 + x_{1} x_{2}} = 2 m + 1$

Xem đáp án » 13/07/2024 8,037

Câu 2:

An đếm số bài kiểm tra một tiết đạt điểm 9 và điểm 10 của mình thấy nhiều hơn 16 bài. Tổng số điểm của tất cả các bài kiểm tra đạt điểm 9 và điểm 10 đó là 160. Hỏi An được bao nhiêu bài đạt điểm 9 và bao nhiêu bài điểm 10

Xem đáp án » 13/07/2024 5,962

Câu 3:

Cho đường tròn (O), hai điểm A, B nằm trên (O) sao cho $\hat{A O B} = 90^{0} .$ Điểm C nằm trên cung lớn AB sao cho $A C > B C$ và tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Các đường cao $A I, B K$ của tam giác ABC cắt nhau tại H. BK cắt (O) tại điểm N (N khác điểm B); AI cắt (O) tại điểm M (khác điểm A), NA cắt MB tại điểm D. Chứng minh rằng

a) Tứ giác CIHK nội tiếp một đường tròn

Xem đáp án » 13/07/2024 3,200

Câu 4:

b, Tìm x là số chính phương để 2019A là số nguyên.

Xem đáp án » 13/07/2024 2,661

Câu 5:

Cho biểu thức $A = \frac{{(\sqrt{x} + 1)}^{2} + {(\sqrt{x} - 1)}^{2}}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} - \frac{3 \sqrt{x} + 1}{x - 1}$ với $x \geq 0, x \neq 1$

a) Rút gọn biểu thức A

Xem đáp án » 11/07/2024 895

Câu 6:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC, Biết $A H = \sqrt{12} c m, \frac{H B}{H C} = \frac{1}{3} .$ Đọ dài đoạn BC là:

A. 6cm

B. 8cm

C. $4 \sqrt{3} c m$

D. 12cm

Xem đáp án » 01/09/2022 762

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

b,Cho hai số thực không âm a,b thỏa mãn a2+b2=2.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=a3+b3+4ab+1

Nhà sách VIETJACK:

Cho phương trình x2−2mx−2m−1=01 với m là tham số. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2sao cho x1+x2+3+x1x2=2m+1

b, Tìm x là số chính phương để 2019A là số nguyên.

Cho biểu thức A=x+12+x−12x−1x+1−3x+1x−1 với x≥0,x≠1 a) Rút gọn biểu thức A

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC, Biết AH=12cm,HBHC=13. Đọ dài đoạn BC là:

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

b,Cho hai số thực không âm a,b thỏa mãn $a^{2} + b^{2} = 2.$ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{a^{3} + b^{3} + 4}{a b + 1}$

Cho phương trình $x^{2} - 2 m x - 2 m - 1 = 0 (1)$ với m là tham số. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ sao cho $\sqrt{x_{1} + x_{2}} + \sqrt{3 + x_{1} x_{2}} = 2 m + 1$

Cho biểu thức $A = \frac{{(\sqrt{x} + 1)}^{2} + {(\sqrt{x} - 1)}^{2}}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} - \frac{3 \sqrt{x} + 1}{x - 1}$ với $x \geq 0, x \neq 1$

a) Rút gọn biểu thức A

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC, Biết $A H = \sqrt{12} c m, \frac{H B}{H C} = \frac{1}{3} .$ Đọ dài đoạn BC là: