✕

✨ Đăng kí VIP để truy cập không giới hạn. Đăng ký ngay

Câu hỏi:

13/07/2024 1,150

b,Cho hai số thực không âm a,b thỏa mãn $a^{2} + b^{2} = 2.$ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{a^{3} + b^{3} + 4}{a b + 1}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Tìm giá trị lớn nhất

Ta có : $a b \geq 0 \Leftrightarrow a b + 1 \geq 1 \Leftrightarrow \frac{1}{a b + 1} \leq 1 \Leftrightarrow M = \frac{a^{3} + b^{3} + 4}{a b + 1} \leq a^{3} + b^{3} + 4$

Ta có: $\{\begin{cases} a, b \geq 0 \\ a^{2} + b^{2} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} \leq 2 \\ b^{2} \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 \leq a^{3} \leq a^{2} \sqrt{2} \\ 0 \leq b^{3} \leq b^{2} \sqrt{2} \end{cases}$

Do đó: $a^{3} + b^{3} + 4 \leq a^{2} \sqrt{2} + b^{2} \sqrt{2} + 4 = \sqrt{2} . (a^{2} + b^{2}) + 4 = 2 \sqrt{2} + 4$

$\Rightarrow M \leq 2 \sqrt{2} + 4$

Dấu $" = "$ xảy ra $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} a^{2} = 2 \\ b^{2} = 2 \\ a b = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} a = \sqrt{2} \\ b = 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} a = 0 \\ b = \sqrt{2} \end{cases} \end{array}$

Vậy $M a x M = 2 \sqrt{2} + 4 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} a = \sqrt{2} \\ b = 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} a = 0 \\ b = \sqrt{2} \end{cases} \end{array}$

Tìm giá trị nhỏ nhất

$\begin{array}{l} a^{3} + b^{3} + 1 \geq 3 \sqrt[3]{a^{3} . b^{3} .1} = 3 a b \\ \Rightarrow a^{3} + b^{3} + 4 \geq 3 a b + 3 = 3 (a b + 1) \\ \Leftrightarrow \frac{a^{3} + b^{3} + 4}{a b + 1} \geq 3 (d o .... a b + 1 > 0) \\ \Leftrightarrow M \geq 1 \end{array}$

Dấu "= " xảy ra

\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b \\ a^{2} + b^{2} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow a = b = 1

Vậy $\min M = 3 \Leftrightarrow a = b = 1$

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Toán

Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Toán

Đã bán 261

₫ 195.000 ₫ 95.000

Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Ngữ Văn

Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Ngữ Văn

Đã bán 111

₫ 180.000 ₫ 97.000

Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Tiếng Anh

Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Tiếng Anh

Đã bán 1k

₫ 180.000 ₫ 97.000

Lớp 9 - Siêu trọng tâm Toán, Văn, Anh

Lớp 9 - Siêu trọng tâm Toán, Văn, Anh

Đã bán 411

₫ 180.000 ₫ 97.000

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho phương trình $x^{2} - 2 m x - 2 m - 1 = 0 (1)$ với m là tham số. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ sao cho $\sqrt{x_{1} + x_{2}} + \sqrt{3 + x_{1} x_{2}} = 2 m + 1$

Xem đáp án » 13/07/2024 13,312

Câu 2:

An đếm số bài kiểm tra một tiết đạt điểm 9 và điểm 10 của mình thấy nhiều hơn 16 bài. Tổng số điểm của tất cả các bài kiểm tra đạt điểm 9 và điểm 10 đó là 160. Hỏi An được bao nhiêu bài đạt điểm 9 và bao nhiêu bài điểm 10

Xem đáp án » 13/07/2024 6,875

Câu 3:

Cho đường tròn (O), hai điểm A, B nằm trên (O) sao cho $\hat{A O B} = 90^{0} .$ Điểm C nằm trên cung lớn AB sao cho $A C > B C$ và tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Các đường cao $A I, B K$ của tam giác ABC cắt nhau tại H. BK cắt (O) tại điểm N (N khác điểm B); AI cắt (O) tại điểm M (khác điểm A), NA cắt MB tại điểm D. Chứng minh rằng

a) Tứ giác CIHK nội tiếp một đường tròn

Xem đáp án » 13/07/2024 4,348

Câu 4:

b, Tìm x là số chính phương để 2019A là số nguyên.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,847

Câu 5:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC, Biết $A H = \sqrt{12} c m, \frac{H B}{H C} = \frac{1}{3} .$ Đọ dài đoạn BC là:

A. 6cm

B. 8cm

C. $4 \sqrt{3} c m$

D. 12cm

Xem đáp án » 01/09/2022 1,439

Câu 6:

Cho biểu thức $A = \frac{{(\sqrt{x} + 1)}^{2} + {(\sqrt{x} - 1)}^{2}}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} - \frac{3 \sqrt{x} + 1}{x - 1}$ với $x \geq 0, x \neq 1$

a) Rút gọn biểu thức A

Xem đáp án » 11/07/2024 1,057

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Vietjack official store

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

🔥 Đề thi HOT:

Bạn vui lòng để lại thông tin để được
TƯ VẤN THÊM

Hoặc gọi Hotline tư vấn: 084 283 45 85
Email: vietjackteam@gmail.com

VietJack