Câu hỏi:

13/07/2024 1,634

b,Cho hai số thực không âm a,b thỏa mãn $a^{2} + b^{2} = 2.$ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{a^{3} + b^{3} + 4}{a b + 1}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Tìm giá trị lớn nhất

Ta có : $a b \geq 0 \Leftrightarrow a b + 1 \geq 1 \Leftrightarrow \frac{1}{a b + 1} \leq 1 \Leftrightarrow M = \frac{a^{3} + b^{3} + 4}{a b + 1} \leq a^{3} + b^{3} + 4$

Ta có: $\{\begin{cases} a, b \geq 0 \\ a^{2} + b^{2} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} \leq 2 \\ b^{2} \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 \leq a^{3} \leq a^{2} \sqrt{2} \\ 0 \leq b^{3} \leq b^{2} \sqrt{2} \end{cases}$

Do đó: $a^{3} + b^{3} + 4 \leq a^{2} \sqrt{2} + b^{2} \sqrt{2} + 4 = \sqrt{2} . (a^{2} + b^{2}) + 4 = 2 \sqrt{2} + 4$

$\Rightarrow M \leq 2 \sqrt{2} + 4$

Dấu $" = "$ xảy ra $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} a^{2} = 2 \\ b^{2} = 2 \\ a b = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} a = \sqrt{2} \\ b = 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} a = 0 \\ b = \sqrt{2} \end{cases} \end{array}$

Vậy $M a x M = 2 \sqrt{2} + 4 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} a = \sqrt{2} \\ b = 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} a = 0 \\ b = \sqrt{2} \end{cases} \end{array}$

Tìm giá trị nhỏ nhất

$\begin{array}{l} a^{3} + b^{3} + 1 \geq 3 \sqrt[3]{a^{3} . b^{3} .1} = 3 a b \\ \Rightarrow a^{3} + b^{3} + 4 \geq 3 a b + 3 = 3 (a b + 1) \\ \Leftrightarrow \frac{a^{3} + b^{3} + 4}{a b + 1} \geq 3 (d o .... a b + 1 > 0) \\ \Leftrightarrow M \geq 1 \end{array}$

Dấu "= " xảy ra

\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b \\ a^{2} + b^{2} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow a = b = 1

Vậy $\min M = 3 \Leftrightarrow a = b = 1$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho phương trình $x^{2} - 2 m x - 2 m - 1 = 0 (1)$ với m là tham số. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ sao cho $\sqrt{x_{1} + x_{2}} + \sqrt{3 + x_{1} x_{2}} = 2 m + 1$

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có: $Δ' = m^{2} + 2 m + 1 = {(m + 1)}^{2}$

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì $Δ > 0 \Leftrightarrow {(m + 1)}^{2} > 0 \Leftrightarrow m \neq - 1$

Khi $m \neq - 1$ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $\{\begin{cases} x_{1} = m + m + 1 = 2 m + 1 \\ x_{2} = m - (m + 1) = - 1 \end{cases}$

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l} \sqrt{x_{1} + x_{2}} + \sqrt{3 + x_{1} x_{2}} = 2 m + 1 \Leftrightarrow \sqrt{2 m} + \sqrt{3 - (2 m + 1)} = 2 m + 1 \Leftrightarrow \sqrt{2 m} + \sqrt{2 - 2 m} = 2 m + 1 \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 m + 1 \geq 0 \\ 2 m \geq 0 \\ 2 - 2 m \geq 0 \\ 2 m + 2 - 2 m + 2 \sqrt{2 m (2 - 2 m)} = 4 m^{2} + 4 m + 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \geq - \frac{1}{2} \\ m \geq 0 \\ m \leq 1 \\ 2 \sqrt{2 m (2 - 2 m)} = 4 m^{2} + 4 m - 1 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 \leq m \leq 1 \\ 4 (4 m - 4 m^{2}) = 16 m^{4} + 16 m^{2} + 1 + 32 m^{3} - 8 m^{2} - 8 m \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 \leq m \leq 1 \\ 16 m^{4} + 32 m^{3} + 24 m^{2} - 24 m + 1 = 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 \leq m \leq 1 \\ (2 m - 1) (8 m^{3} + 20 m^{2} + 22 m - 1) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 \leq m \leq 1 \\ [\begin{array}{l} m = \frac{1}{2} \\ m \approx 0,044 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \frac{1}{2} \\ m \approx 0,044 \end{array} (t m) \end{array}$

Vậy $m = \frac{1}{2}$ hoặc $m \approx 0,044$

Câu 2

An đếm số bài kiểm tra một tiết đạt điểm 9 và điểm 10 của mình thấy nhiều hơn 16 bài. Tổng số điểm của tất cả các bài kiểm tra đạt điểm 9 và điểm 10 đó là 160. Hỏi An được bao nhiêu bài đạt điểm 9 và bao nhiêu bài điểm 10

Xem đáp án

Lời giải

Gọi số bài kiểm tra 1 tiết đạt điểm 9 là x (bài ) $(x \in ℕ)$ và số bài kiểm tra 1 tiết đạt điểm 10 là y (bài)

$(y \in ℕ)$

Do số bài kiểm tra 1 tiết đạt điểm 9 và điểm 10 nhiều hơn 16 bài nên $x + y > 16 \Leftrightarrow 9 x + 9 y > 144 (1)$

Tổng số điểm của x bài kiểm tra 1 tiết đạt điểm 9 là 9x (điểm)

Tổng số điểm của y bài kiểm tra 1 tiết đạt điểm 10 là 10y (điểm)

Do tổng số điểm của tất cả các bài kiểm tra đạt 9 điểm và 10 điểm là 160 nên ta có phương trình:

$9 x + 10 y = 160 \Leftrightarrow 9 x = 160 - 10 y$

Thay vào (1) ta có: $160 - 10 y + 9 y > 144 \Leftrightarrow y < 16$

Do $y \in ℕ \Rightarrow y \in \{0; 1; 2; 3; .......; 15\}$

Ta có:

$x \in ℕ \Rightarrow 9 x = 160 - 10 y \equiv 0 (\mod 9) \Rightarrow 153 + 7 - 9 y - y \equiv 0 (\mod 9)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 7 - y \equiv 0 (\mod 9) \Leftrightarrow y \equiv 7 (\mod 9) \\ \Rightarrow y = 7 \Rightarrow x = 10 (t m) \end{array}$

Vậy số bài kiểm tra 1 tiết đạt điểm 9 là 10 bài và số bài kiểm tra 1 tiết đạt điểm 10 là 7 bài

Câu 3

Cho đường tròn (O), hai điểm A, B nằm trên (O) sao cho $\hat{A O B} = 90^{0} .$ Điểm C nằm trên cung lớn AB sao cho $A C > B C$ và tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Các đường cao $A I, B K$ của tam giác ABC cắt nhau tại H. BK cắt (O) tại điểm N (N khác điểm B); AI cắt (O) tại điểm M (khác điểm A), NA cắt MB tại điểm D. Chứng minh rằng

a) Tứ giác CIHK nội tiếp một đường tròn

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

b, Tìm x là số chính phương để 2019A là số nguyên.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC, Biết $A H = \sqrt{12} c m, \frac{H B}{H C} = \frac{1}{3} .$ Đọ dài đoạn BC là:

A. 6cm

B. 8cm

C. $4 \sqrt{3} c m$

D. 12cm

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho biểu thức $A = \frac{{(\sqrt{x} + 1)}^{2} + {(\sqrt{x} - 1)}^{2}}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} - \frac{3 \sqrt{x} + 1}{x - 1}$ với $x \geq 0, x \neq 1$

a) Rút gọn biểu thức A

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

b,Cho hai số thực không âm a,b thỏa mãn $a^{2} + b^{2} = 2.$ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{a^{3} + b^{3} + 4}{a b + 1}$

Cho phương trình $x^{2} - 2 m x - 2 m - 1 = 0 (1)$ với m là tham số. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ sao cho $\sqrt{x_{1} + x_{2}} + \sqrt{3 + x_{1} x_{2}} = 2 m + 1$

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC, Biết $A H = \sqrt{12} c m, \frac{H B}{H C} = \frac{1}{3} .$ Đọ dài đoạn BC là:

Cho biểu thức $A = \frac{{(\sqrt{x} + 1)}^{2} + {(\sqrt{x} - 1)}^{2}}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} - \frac{3 \sqrt{x} + 1}{x - 1}$ với $x \geq 0, x \neq 1$

a) Rút gọn biểu thức A