4, Giả sử O, N, M thẳng hàng. Chứng minh $N A^{2} + N B^{2} = 2 R^{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Theo đề bài ta có O, N, M thẳng hàng $\Rightarrow O N = R = \frac{1}{2} O M \Rightarrow N$ là trung điểm của OM

Ta có: $O N ⊥ A B = \{I\} \Rightarrow I$ là trung điểm của AB (tính chất đường kính dây cung)

Lại có: $O A = O B = R \Rightarrow O N$ là đường trung trực của $A B \Rightarrow N A = N B$

Xét $Δ M A O$ ta có: $\cos \hat{A O M} = \frac{O A}{O M} = \frac{R}{2 R} = \frac{1}{2} \Rightarrow \hat{A O M} = 60^{0} = \hat{A O N}$

Xét $Δ A O N$ ta có: $\{\begin{cases} O A = O N = R \\ \hat{A O N} = 60^{0} \end{cases} \Rightarrow Δ A O N$ là tam giác đều.

\begin{array}{l} \Rightarrow N A = O N = O A = R = A B \\ \Rightarrow N A^{2} + N B^{2} = R^{2} + R^{2} = 2 R^{2} (d f c m) \end{array}

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

2, Gọi $A (x_{A}; y_{A}), B (x_{B}, y_{B})$ là hai giao điểm phân biệt của (d) và (P) Tìm tất cả các giá trị của tham số để m $x_{A} > 0$ và $x_{B} > 0$

Xem đáp án

Lời giải

2, Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số (d) và (P)

$\frac{1}{2} x^{2} = x + m - 1 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 2 m + 2 = 0 (*)$

Theo đề bài ta có: $(d)$ cắt (P) tại hai điểm $A (x_{A}, y_{A}), B (x_{B}, y_{B})$ phân biệt

$\Leftrightarrow (*)$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow Δ' > 0$

$\Leftrightarrow 1 - (- 2 m + 2) > 0 \Leftrightarrow 1 + 2 m - 2 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{2}$

Vậy với $m > \frac{1}{2}$ thì phương trình (*) có hai nghiệm $x_{A}, x_{B}$ phân biệt

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\{\begin{cases} x_{A} + x_{B} = 2 \\ x_{A} x_{B} = - 2 m + 2 \end{cases}$

Theo đề bài ta có: $\{\begin{cases} x_{A} > 0 \\ x_{B} > 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x_{A} + x_{B} > 0 \\ x_{A} . x_{B} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 > 0 \forall m \\ - 2 m + 2 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow - 2 m > - 2 \Leftrightarrow m < 1$

Kết hợp các điều kiện của m ta được: $\frac{1}{2} < m < 1$

Vậy $\frac{1}{2} < m < 1$ thỏa mãn bài toán.

Câu 2

Cho đường tròn (O, R).Từ một điểm M ở ngoài đường tròn ( O,R) sao cho OM= 2R vẽ hai tiếp tuyến $M A, M B$ với $(O) (A, B$ là hai tiếp điểm). Lấy một điểm N tùy ý trên cung nhỏ AB Gọi I,H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N trên $A B, A M, B M .$

a, Tính diện tích tứ giác MAOB theo R

Xem đáp án

Lời giải

Cho đường tròn (O, R).Từ một điểm M ở ngoài đường tròn ( O,R) sao cho OM=2R (ảnh 1)

Xét $Δ O A M$ và $Δ O B M$ ta có:

$O A = O B (= R);$ OM chung; $M A = M B$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow Δ O A M = Δ O B M (c . c . c) \Rightarrow S_{O A M} = S_{O B M} \Rightarrow S_{M A O B} = S_{O A M} + S_{O B M} = 2 S_{O A M}$

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông OAM ta có:

$\begin{array}{l} A M^{2} = O M^{2} - O A^{2} = {(2 R)}^{2} - R^{2} = 3 R^{2} \Rightarrow A M = R \sqrt{3} \\ \Rightarrow S_{M A O B} = 2 S_{O A M} = 2. \frac{1}{2} O A . A M = R . R \sqrt{3} = R^{2} \sqrt{3} (d v d t) \end{array}$

Câu 3