2. Nông trường cao su Minh Hưng phải khai thác 260 tấn mủ trong một thời gian nhất định. Trên thực tế, mỗi ngày nông trường đều khai thác vượt định mức 3 tấn. Do đó, nông trường đã khai thác được 261 tấn và xong trước thời hạn 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nông trường đã khai thác được bao nhiêu tấn mủ cao su.

Phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt $\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\ne 0\\ \Delta >0\\ S>0\\ P>0\end{array}\right.$

Có $\Delta ={\left(m+2\right)}^2-4\left(m+8\right)=m^2+4m+4-4m-32>0\iff m^2-28>0\iff \left[\begin{array}{l}m>2\sqrt{7}\\ m<-2\sqrt{7}\end{array}\right.\left(1\right)$

$\begin{array}{l}S=-\frac{b}{a}=m+2>0\iff m>-2\left(2\right)\\ P=\frac{c}{a}=m+8>0\iff m>-8\left(3\right)\end{array}$

Kết hợp các điều kiện $\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)$ta được $\left[\begin{array}{l}m<2\sqrt{7}\\ -8<m<2\sqrt{7}\end{array}\right.$

Theo bài ra ta có:

$x_1^3-x_2=0\Rightarrow x_1^3=x_2\iff x_1{x}_2=x_1^4=m+8$$\iff x_1=\sqrt[4]{m+8}\Rightarrow x_2=\sqrt[4]{{\left(m+8\right)}^3}$

$\Rightarrow x_1+x_2=m+2\iff \sqrt[4]{m+8}+\sqrt[4]{{\left(m+8\right)}^3}=m+8-6$

Đặt $\sqrt[4]{m+8}=t\left(t\ge 0\right)$ , ta có:

$\begin{array}{l}t+t^3=t^4-6\\ \iff t^4-t^3-t-6=0\\ \iff t^4-16-\left(t^3+t-10\right)=0\\ \iff \left(t^2-4\right)\left(t^2+4\right)-\left(t^3-9+t-2\right)=0\\ \iff \left(t-2\right)\left(t+2\right)\left(t^2+4\right)-\left(t-2\right)\left(t^2+2t+5\right)=0\\ \iff \left(t-2\right)\left(t^3+t^2+2t+3\right)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}t=2\\ t^3+t^2+2t+3=0\left(VN\right)\end{array}\right.\\ \Rightarrow \sqrt[4]{m+8}=2\iff m+8=2^4=16\iff m=8\left(tm\right)\end{array}$

Vậy $m=8$

Ta có đường thẳng $\left(d_1\right):y=ax+b$ song song với đường thẳng $\left(d\right)y=x+2$ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b\ne 2\end{array}\right.\Rightarrow \left(d_1\right):y=x+b$

Gọi $A\left(-2;y_A\right)$là giao điểm của đường thẳng $\left(d_1\right)$và đồ thị $\left(P\right)\Rightarrow A\in \left(P\right)$

$\Rightarrow y_A=\frac{1}{2}.{\left(-2\right)}^2=2\Rightarrow A\left(-2;2\right)$

Lại có $A\in \left(d_1\right)$nên thay $x=\mathrm{2,}y=2$vào phương trình đường thẳng $\left(d_1\right):y=x+b$ta được $2=-2+b\iff b=4\left(tm\right)$

Vậy đường thẳng $\left(d_1\right)$có phương trình $y=x+4$