Câu hỏi:

11/07/2024 12,277

Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ cát tuyến AMN không đi qua (O) (M nằm giữa A và N). Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O;R). (B và C là hai tiếp điểm và C tuộc cung nhỏ MN). Đường thẳng BC cắt MN và AO lần lượt tại E và F. Gọi I là trung điểm của MN.

a) Chứng minh rằng tứ giác ABOC nội tiếp được trong đường tròn.

b) Chứng minh EB.EC = EM.EN và IA là phân giác của $\hat{B I C}$ .

c) Tia MF cắt (O;R) tại điểm thứ hai là D. Chứng minh rằng $Δ A M F ∽ Δ A O N$ và $B C // D N$ .

d) Giả sử OA = 2R. Tính diện tích tam giác ABC theo R.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2019 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ cát tuyến AMN không đi qua (O) (M nằm giữa A và N). Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O;R). (B và C là hai tiếp điểm và C tuộc cung nhỏ MN). Đường thẳng BC cắt MN và AO lần lượt tại E và F. Gọi I là trung điểm của MN. a) Chứng minh rằng tứ giác ABOC nội tiếp được trong đường tròn. b) Chứng minh EB.EC = EM.EN và IA là phân giác của . c) Tia MF cắt (O;R) tại điểm thứ hai là D. Chứng minh rằng Tam giác AMF đồng dạng với tam giác AON và BC//DN . d) Giả sử OA = 2R. Tính diện tích tam giác ABC theo R. (ảnh 1)

a) Vì AB là tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm B AB $⊥$ OB hay $\hat{A B O} = 90^{0}$

Vì AC là tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm C AC $⊥$ OC hay $\hat{A C O} = 90^{0}$ .

Tứ giác ABOC có $\hat{A C O} = \hat{A B O} = 90^{0}$ nên tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính AO.

b) Xét $Δ EMB$ và $Δ ECN$ có:

$\hat{E M B} = \hat{E C N}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NB)

$\hat{E B M} = \hat{E N C}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MC)

$\Rightarrow Δ E M B ∽ Δ E C N (g g)$

$\Rightarrow \frac{E M}{E C} = \frac{E B}{E N} \Rightarrow E B . E C = E M . E N$ .

Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O) lần lượt tại các tiếp điểm B và C nên $\hat{A O B} = \hat{A O C}$ và AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Vì I là trung điểm MN $\Rightarrow O I ⊥ M N$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)

$\Rightarrow \hat{A I O} = 90^{0}$ I nằm trên đường tròn đường kính OA.

Xét đường tròn đường kính OA ta có:

$\hat{A I C} = \hat{A O C}; \hat{A I B} = \hat{A O B}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Mà $\hat{A O B} = \hat{A O C}$

$\Rightarrow \hat{A I C} = \hat{A I B}$ hay IA là phân giác của .

d) Xét $Δ A O C$ vuông tại C ta có:

$O A^{2} = A C^{2} + O C^{2}$

$\Rightarrow A C^{2} = O A^{2} - O C^{2} = 4 R^{2} - R^{2} = 3 R^{2}$

$\Rightarrow A C = R \sqrt{3}$ .

Xét $Δ A O C$ vuông tại C ta có: $\sin \hat{C A O} = \frac{O C}{O A} = \frac{R}{2 R} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \hat{C A O} = 30^{0} \Rightarrow \hat{C A B} = 60^{0}$

có AB = AC và $\hat{C A B} = 60^{0}$ suy ra $Δ A B C$ là tam giác đều.

đường cao $h = A B \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 R}{2}$

$S_{B C A} = \frac{1}{2} h . A B = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 R}{2} \cdot R \sqrt{3} = \frac{3 R^{2} \sqrt{3}}{4} (d v d t)$

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Toán

Đã bán 261

₫ 195.000 ₫ 95.000

Hà Nội

Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Ngữ Văn

Đã bán 111

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Lớp 9 - Siêu trọng tâm Toán, Văn, Anh

Đã bán 411

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Tiếng Anh

Đã bán 1k

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Kim tự tháp Keop – Ai cập có dạng hình chóp đều, đáy là hình vuông, các mặt bên là các tam giác cân chung đỉnh. Mỗi cạnh bên của kim tự tháp dài 214m, cạnh đáy của nó dài 230m.

a) Tính theo mét chiều cao h của kim tự tháp (làm tròn đến số thập phân thứ nhất)

b) Cho biết thể tích của hình chóp được tính theo công thức $V = \frac{1}{3} S . h$ , trong đó S là diện tích mặt đáy, h là chiều cao của hình chóp. Tính theo m³ thể tích của kim tự tháp (làm tròn đến hàng nghìn)

Xem đáp án » 11/07/2024 29,550

Câu 2:

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H (H nằm giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O; R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O; R) tại điểm K (K khác A), hai dây MN và BK cắt nhau ở E.

a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh: CA.CK = CE.CH.

c) Qua điểm N, kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AC, (d) cắt tia MK tại F. Chứng minh tam giác cân.

d) Khi KE = KC. Chứng minh rằng: OK // MN.

Xem đáp án » 11/07/2024 26,310

Câu 3:

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH , biết AB=5cm, BH=3cm . Tính AH, AC và sin CAH.

Xem đáp án » 13/07/2024 12,727

Câu 4:

Cho đường tròn đường kính AB , các điểm C,D nằm trên đường tròn đó sao cho C,D nằm khác phía đối với đường thẳng AB , đồng thời AD>AC. Gọi điểm chính giữa của các cung nhỏ AC,AD lần lượt là M,N ; giao điểm của MN với AC,AD lần lượt là H,I; giao điểm của MD và CN là K.

a) Chứng minh $\hat{A C N} = \hat{D M N}$ . Từ đó suy ra tứ giác $M C K H$ nội tiếp.

b) Chứng minh $K H$ song song với $A D$ .

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa sđ $\overset{⏜}{A C}$ và sđ $\overset{⏜}{A D}$ để song song với $N D$ .

Xem đáp án » 11/07/2024 5,915

Câu 5:

Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB<AC ), đường cao AH ( H thuộc BC) lấy điểm D sao cho BD=BA , vẽ CE vuông góc với AD ( E thuộc AD)

a)      Chứng minh tứ giác AHCE là tứ giác nội tiếp

b)      Chứng minh $D A . H E = D H . A C$

c)      Chứng minh tam giác EHC cân

Xem đáp án » 11/07/2024 4,414

Câu 6:

Cho điểm S cố định ở bên ngoài đường tròn (O). Vẽ tiếp tuyến SA của đường tròn (O) (với A là tiếp điểm) và cát tuyến SCB không qua tâm O, điểm O nằm trong góc ASB, điểm C nằm giữa S và B. Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng CB.

a)      Chứng minh rằng tứ giác SAOH nội tiếp một đường tròn

b)      Chứng mnh rằng $S A^{2} = S B . S C$

c)      Gọi MN là đường kính bất kỳ của đường tròn (O) sao cho ba điểm S, M, N không thẳng hàng. Xác định vị trí của MN để diện tích tam giác SMN lớn nhất

Xem đáp án » 11/07/2024 3,691

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Bình luận

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH , biết AB=5cm, BH=3cm . Tính AH, AC và sin CAH.

Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB<AC ), đường cao AH ( H thuộc BC) lấy điểm D sao cho BD=BA , vẽ CE vuông góc với AD ( E thuộc AD) a) Chứng minh tứ giác AHCE là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh DA.HE=DH.AC c) Chứng minh tam giác EHC cân

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB<AC ), đường cao AH ( H thuộc BC) lấy điểm D sao cho BD=BA , vẽ CE vuông góc với AD ( E thuộc AD)

a) Chứng minh tứ giác AHCE là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh $D A . H E = D H . A C$

c) Chứng minh tam giác EHC cân