$S_{1} = S_{3} + S_{4} = \frac{a^{2}}{4} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2}) + \frac{a^{2}}{4} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2}) = \frac{a^{2}}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2})$

$S_{2} = \frac{1}{2} a^{2} - \frac{a^{2}}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2}) = \frac{a^{2}}{2} (\frac{3}{2} - \frac{π}{4})$

$\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{\frac{a^{2}}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2})}{\frac{a^{2}}{2} (\frac{3}{2} - \frac{π}{4})} = \frac{π - 2}{6 - π}$

Câu 2/13

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH , biết AB=5cm, BH=3cm . Tính AH, AC và sin CAH.

Xem đáp án

Lời giải

Áp dụng Pitago vào tam giác vuông

$\begin{array}{l} A B^{2} = A H^{2} + B H^{2} \\ \Rightarrow A H^{2} = A B^{2} - B H^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 16 \Rightarrow A H = 4 (c m) \end{array}$ .

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ABC $A H^{2} = B H . C H \Rightarrow C H = \frac{A H^{2}}{B H} = \frac{16}{3} (c m)$

Do đó $B C = B H + C H = 3 + \frac{16}{3} = \frac{25}{3} (c m)$

Áp dụng Pitago vào tam giác vuông ABC $\begin{array}{l} A C^{2} = C H . B C = \frac{16}{3} \cdot \frac{25}{3} = \frac{400}{9} \\ \Rightarrow A C = \frac{20}{3} c m) \end{array}$

$\sin \hat{C A H} = \frac{C H}{C A} = \frac{16}{3} : \frac{20}{3} = \frac{4}{5}$

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH , biết AB=5cm, BH=3cm . Tính AH, AC và sin CAH. (ảnh 1)

Câu 3/13

Cho tam giác ABC vuông tại A có SH là đường cao (H thuộc BC). Biết BH=3cm, BC=9cm . Tính độ dài AB

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A có SH là đường cao (H thuộc BC). Biết BH=3cm, BC=9cm . Tính độ dài AB (ảnh 1)

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A, đường cao ta có: $\begin{array}{l} A B^{2} = B H . B C \\ \Rightarrow A B^{2} = 3.9 \\ \Rightarrow A B = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3} (c m) \end{array}$

Câu 4/13

Cho đường tròn đường kính AB , các điểm C,D nằm trên đường tròn đó sao cho C,D nằm khác phía đối với đường thẳng AB , đồng thời AD>AC. Gọi điểm chính giữa của các cung nhỏ AC,AD lần lượt là M,N ; giao điểm của MN với AC,AD lần lượt là H,I; giao điểm của MD và CN là K.

a) Chứng minh $\hat{A C N} = \hat{D M N}$ . Từ đó suy ra tứ giác $M C K H$ nội tiếp.

b) Chứng minh $K H$ song song với $A D$ .

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa sđ $\overset{⏜}{A C}$ và sđ $\overset{⏜}{A D}$ để song song với $N D$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho đường tròn đường kính AB , các điểm C,D nằm trên đường tròn đó sao cho C,D nằm khác phía đối với đường thẳng AB , đồng thời AD>AC. Gọi điểm chính giữa của các cung nhỏ AC,AD lần lượt là M,N ; giao điểm của MN với AC,AD lần lượt là H,I; giao điểm của MD và CN là K. (ảnh 1)

Ta có . $\hat{A C N} = \frac{1}{2} sđ \overset{⏜}{A N} = \frac{1}{2} sđ \overset{⏜}{D N} = \hat{D M N} (*)$

Xét tứ giác $M C K H$ có $\hat{K C H} = \hat{K M H}$ (do $(*)$ ). Do đó, tứ giác $M C K H$ nội tiếp.

b) Do tứ giác $M C K H$ nội tiếp nên $\hat{H K M} = \hat{H C M} = \frac{1}{2} sđ \overset{⏜}{A M} = \hat{A D M}$ .

Suy ra, $H K // A D$ (hai góc đồng vị).

c) Ta có $\hat{C K M} = \frac{1}{2} (sđ \overset{⏜}{M C} + sđ \overset{⏜}{D N})$ ; $\hat{M C K} = \frac{1}{2} (sđ \overset{⏜}{M A} + sđ \overset{⏜}{A N}) = \frac{1}{2} (sđ \overset{⏜}{M C} + sđ \overset{⏜}{D N})$ .

$\Rightarrow \hat{M K C} = \hat{M C K}$ $\Rightarrow Δ M C K$ cân tại $\Rightarrow M C = M K$ mà $M C = M A \Rightarrow M A = M K$ .

Do đó, $Δ M A K$ cân tại M.

Vì là phân giác góc $\hat{A M K}$ nên $M N ⊥ A K \Rightarrow M N ⊥ D N$ .

Do đó, là đường kính của đường tròn tâm đường kính .

Suy ra, $sđ \overset{⏜}{M A} + sđ \overset{⏜}{A D} = 180 ° \Leftrightarrow \frac{1}{2} sđ \overset{⏜}{A C} + sđ \overset{⏜}{A D} = 180 °$ .

Câu 5/13

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H (H nằm giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O; R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O; R) tại điểm K (K khác A), hai dây MN và BK cắt nhau ở E.

a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh: CA.CK = CE.CH.

c) Qua điểm N, kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AC, (d) cắt tia MK tại F. Chứng minh tam giác cân.

d) Khi KE = KC. Chứng minh rằng: OK // MN.

Xem đáp án

Lời giải

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H (H nằm giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O; R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O; R) tại điểm K (K khác A), hai dây MN và BK cắt nhau ở E. a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh: CA.CK = CE.CH. c) Qua điểm N, kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AC, (d) cắt tia MK tại F. Chứng minh tam giác cân. d) Khi KE = KC. Chứng minh rằng: OK // MN. (ảnh 1)

a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.

Ta có : $\hat{A H E} = 90^{0}$

$\hat{A K B} = 90^{0}$ $\Rightarrow \hat{A H E} + \hat{A K B} = 180^{0}$ (1)

Hai góc $\hat{A H E}, \hat{A K B}$ đối nhau (2)

Từ (1), (2) ta có tứ giác AHEK nội tiếp đường tròn đường kính AE.

b) Chứng minh: CA.CK = CE.CH.

Do tứ giác AHEK nội tiếp nên $\hat{H A K} = \hat{K E N}$

vì chung và $\hat{H A K} = \hat{K E N}$ $(\hat{A H C} = \hat{E K C} = 90^{0})$

nên $\frac{C K}{C H} = \frac{CE}{CA} \Leftrightarrow C K . C A = C H . C E$

c)Qua điểm N, kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AC, (d) cắt tia MK tại F. Chứng minh tam giác cân.

Do KB // FN nên $\hat{E K N} = \hat{K N F}, \hat{M K B} = \hat{K F N}$ (3)

mà $\hat{M K B} = \hat{E K N}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung bằng nhau) (4)

(3), (4) $\Rightarrow \hat{K N F} = \hat{K F N}$ nên tam giác KFN cân tại K.

d) Khi KE = KC. Chứng minh rằng: OK // MN.

Ta có vuông tại K.

mà KE = KC nên tam giác KEC vuông cân tại K $\Rightarrow \hat{K E C} = 45^{0}$

$\hat{O A K} = \hat{O K A} = \hat{K E C} = 45^{0} \Rightarrow \hat{A O K} = 90^{0}$ hay

mà $M N ⊥ A B$ nên OK //MN

Câu 6/13

Nhằm tiếp tục đẩy mạnh phong trào xây dựng trường học Xanh-Sạch-Đẹp, trường THCS A đã thiết kế một khuôn viên để trồng hoa có dạng hình tam giác vuông (như hình bên). Biết rằng tam giác MNK vuông tại M , MN=6m, MK=8m, MH vông góc với NK , MN=6m, MK=8 m, MH vuống góc NK . Nhà trường trồng hoa mười giờ dọc theo các đoạn NK , MH.

Tính độ dài các đoạn NK, MH. Biết chi phí trồng hoa mười giờ là đồng trên mỗi mét chiều dài. Tính tổng chi phí để trồng các luống hoa mười giờ đó.

Xem đáp án

Lời giải

Tam giác $M N K$ vuông tại M nên $N K = \sqrt{M N^{2} + M K^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$ m.

Lại có $M H \cdot N K = M N \cdot M K$ nên $M H = \frac{M N \cdot M K}{N K} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4,8$ m.

Tổng chiều dài NK và $M H$ là $10 + 4,8 = 14,8$ m.

Tổng chi phí để trồng các luống hoa mười giờ đó là $20000 \cdot 14,8 = 296000$ đồng.

Câu 7/13