$S_{1} = S_{3} + S_{4} = \frac{a^{2}}{4} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2}) + \frac{a^{2}}{4} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2}) = \frac{a^{2}}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2})$

$S_{2} = \frac{1}{2} a^{2} - \frac{a^{2}}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2}) = \frac{a^{2}}{2} (\frac{3}{2} - \frac{π}{4})$

$\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{\frac{a^{2}}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2})}{\frac{a^{2}}{2} (\frac{3}{2} - \frac{π}{4})} = \frac{π - 2}{6 - π}$

Câu 2

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH , biết AB=5cm, BH=3cm . Tính AH, AC và sin CAH.

Xem đáp án

Lời giải

Áp dụng Pitago vào tam giác vuông

$\begin{array}{l} A B^{2} = A H^{2} + B H^{2} \\ \Rightarrow A H^{2} = A B^{2} - B H^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 16 \Rightarrow A H = 4 (c m) \end{array}$ .

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ABC $A H^{2} = B H . C H \Rightarrow C H = \frac{A H^{2}}{B H} = \frac{16}{3} (c m)$

Do đó $B C = B H + C H = 3 + \frac{16}{3} = \frac{25}{3} (c m)$

Áp dụng Pitago vào tam giác vuông ABC $\begin{array}{l} A C^{2} = C H . B C = \frac{16}{3} \cdot \frac{25}{3} = \frac{400}{9} \\ \Rightarrow A C = \frac{20}{3} c m) \end{array}$

$\sin \hat{C A H} = \frac{C H}{C A} = \frac{16}{3} : \frac{20}{3} = \frac{4}{5}$

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH , biết AB=5cm, BH=3cm . Tính AH, AC và sin CAH. (ảnh 1)

Câu 3

Cho tam giác ABC vuông tại A có SH là đường cao (H thuộc BC). Biết BH=3cm, BC=9cm . Tính độ dài AB

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A có SH là đường cao (H thuộc BC). Biết BH=3cm, BC=9cm . Tính độ dài AB (ảnh 1)

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A, đường cao ta có: $\begin{array}{l} A B^{2} = B H . B C \\ \Rightarrow A B^{2} = 3.9 \\ \Rightarrow A B = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3} (c m) \end{array}$

Câu 4

Cho đường tròn đường kính AB , các điểm C,D nằm trên đường tròn đó sao cho C,D nằm khác phía đối với đường thẳng AB , đồng thời AD>AC. Gọi điểm chính giữa của các cung nhỏ AC,AD lần lượt là M,N ; giao điểm của MN với AC,AD lần lượt là H,I; giao điểm của MD và CN là K.

a) Chứng minh $\hat{A C N} = \hat{D M N}$ . Từ đó suy ra tứ giác $M C K H$ nội tiếp.

b) Chứng minh $K H$ song song với $A D$ .

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa sđ $\overset{⏜}{A C}$ và sđ $\overset{⏜}{A D}$ để song song với $N D$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho đường tròn đường kính AB , các điểm C,D nằm trên đường tròn đó sao cho C,D nằm khác phía đối với đường thẳng AB , đồng thời AD>AC. Gọi điểm chính giữa của các cung nhỏ AC,AD lần lượt là M,N ; giao điểm của MN với AC,AD lần lượt là H,I; giao điểm của MD và CN là K. (ảnh 1)

Ta có . $\hat{A C N} = \frac{1}{2} sđ \overset{⏜}{A N} = \frac{1}{2} sđ \overset{⏜}{D N} = \hat{D M N} (*)$

Xét tứ giác $M C K H$ có $\hat{K C H} = \hat{K M H}$ (do $(*)$ ). Do đó, tứ giác $M C K H$ nội tiếp.

b) Do tứ giác $M C K H$ nội tiếp nên $\hat{H K M} = \hat{H C M} = \frac{1}{2} sđ \overset{⏜}{A M} = \hat{A D M}$ .

Suy ra, $H K // A D$ (hai góc đồng vị).

c) Ta có $\hat{C K M} = \frac{1}{2} (sđ \overset{⏜}{M C} + sđ \overset{⏜}{D N})$ ; $\hat{M C K} = \frac{1}{2} (sđ \overset{⏜}{M A} + sđ \overset{⏜}{A N}) = \frac{1}{2} (sđ \overset{⏜}{M C} + sđ \overset{⏜}{D N})$ .

$\Rightarrow \hat{M K C} = \hat{M C K}$ $\Rightarrow Δ M C K$ cân tại $\Rightarrow M C = M K$ mà $M C = M A \Rightarrow M A = M K$ .

Do đó, $Δ M A K$ cân tại M.

Vì là phân giác góc $\hat{A M K}$ nên $M N ⊥ A K \Rightarrow M N ⊥ D N$ .

Do đó, là đường kính của đường tròn tâm đường kính .

Suy ra, $sđ \overset{⏜}{M A} + sđ \overset{⏜}{A D} = 180 ° \Leftrightarrow \frac{1}{2} sđ \overset{⏜}{A C} + sđ \overset{⏜}{A D} = 180 °$ .

Câu 5

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H (H nằm giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O; R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O; R) tại điểm K (K khác A), hai dây MN và BK cắt nhau ở E.

a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh: CA.CK = CE.CH.

c) Qua điểm N, kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AC, (d) cắt tia MK tại F. Chứng minh tam giác cân.

d) Khi KE = KC. Chứng minh rằng: OK // MN.

Xem đáp án

Lời giải

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H (H nằm giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O; R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O; R) tại điểm K (K khác A), hai dây MN và BK cắt nhau ở E. a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh: CA.CK = CE.CH. c) Qua điểm N, kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AC, (d) cắt tia MK tại F. Chứng minh tam giác cân. d) Khi KE = KC. Chứng minh rằng: OK // MN. (ảnh 1)

a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.

Ta có : $\hat{A H E} = 90^{0}$

$\hat{A K B} = 90^{0}$ $\Rightarrow \hat{A H E} + \hat{A K B} = 180^{0}$ (1)

Hai góc $\hat{A H E}, \hat{A K B}$ đối nhau (2)

Từ (1), (2) ta có tứ giác AHEK nội tiếp đường tròn đường kính AE.

b) Chứng minh: CA.CK = CE.CH.

Do tứ giác AHEK nội tiếp nên $\hat{H A K} = \hat{K E N}$

vì chung và $\hat{H A K} = \hat{K E N}$ $(\hat{A H C} = \hat{E K C} = 90^{0})$

nên $\frac{C K}{C H} = \frac{CE}{CA} \Leftrightarrow C K . C A = C H . C E$

c)Qua điểm N, kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AC, (d) cắt tia MK tại F. Chứng minh tam giác cân.

Do KB // FN nên $\hat{E K N} = \hat{K N F}, \hat{M K B} = \hat{K F N}$ (3)

mà $\hat{M K B} = \hat{E K N}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung bằng nhau) (4)

(3), (4) $\Rightarrow \hat{K N F} = \hat{K F N}$ nên tam giác KFN cân tại K.

d) Khi KE = KC. Chứng minh rằng: OK // MN.

Ta có vuông tại K.

mà KE = KC nên tam giác KEC vuông cân tại K $\Rightarrow \hat{K E C} = 45^{0}$

$\hat{O A K} = \hat{O K A} = \hat{K E C} = 45^{0} \Rightarrow \hat{A O K} = 90^{0}$ hay

mà $M N ⊥ A B$ nên OK //MN

Câu 6