Câu hỏi:

19/08/2025 4,933

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và góc A bằng 45 độ . Gọi D , E lần lượt là các hình chiếu vuông góc của B , C lên AC , AB; H là giao điểm của BD và CE .

a) Chứng minh tứ giác BECD nội tiếp.

b) Chứng minh DE.AB=BC.AD và tính tỉ số ED/BC .

c) Chứng minh HE+HD=BE+CD .

d) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC . Chứng minh AI vuông góc với DE .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2019 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và góc A bằng 45 độ . Gọi D , E lần lượt là các hình chiếu vuông góc của B , C lên AC , AB; H là giao điểm của BD và CE . a) Chứng minh tứ giác BECD nội tiếp. b) Chứng minh DE.AB=BC.AD và tính tỉ số ED/BC . c) Chứng minh HE+HD=BE+CD . d) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC . Chứng minh AI vuông góc với DE . (ảnh 1)

a) Theo giả thiết . Khi đó tứ giác $B E C D$ có đỉnh E và D cùng nhìn cạnh dưới hai góc bằng nhau nên tứ giác $B E C D$ nội tiếp.

b) Tứ giác $B E C D$ nội tiếp nên $\hat{B E D}$ (cùng bù với ).

Xét $Δ A D E$ và $Δ A B C$ có $\hat{A E D} = \hat{A C B}$ và $\hat{A}$ chung nên $Δ A D E ∽ Δ A B C$ .

Do đó $\frac{A D}{D E} = \frac{A B}{B C} \Leftrightarrow D E \cdot A B = B C \cdot A D$ .

Từ $\frac{A D}{D E} = \frac{A B}{B C} \Rightarrow \frac{D E}{B C} = \frac{A D}{A B}$ .

Vì $Δ A B D$ vuông tại D nên ta có

$\frac{D E}{B C} = \frac{A D}{A B} = \cos \hat{B A D} = \cos 45 ° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

c) $Δ A B D$ vuông tại D và $\hat{B A D} = 45 °$ nên $\hat{A B D} = 45 ° \Rightarrow \hat{E B H} = 45 °$

$\Rightarrow Δ E B H$ vuông cân tại E $\Rightarrow H E = B E$ . (1)

Chứng minh tương tự $Δ C D H$ vuông cân tại D $\Rightarrow H D = C D$ . (2)

Từ (1) và (2) suy ra $H E + H D = B E + C D$ .

d) Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên I là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC .

Ta có thuộc trung trực của ; E thuộc trung trực của AC (vì tam giác AEC vuông cân tại E) suy ra $E I ⊥ A C \Rightarrow E I ⊥ A D$ . (3)

Chứng minh tương tự $D I ⊥ A B \Rightarrow D I ⊥ A E$ . (4)

Từ (3) và (4) suy ra là trực tâm của $Δ A E D \Rightarrow A I ⊥ D E$ .

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Kim tự tháp Keop – Ai cập có dạng hình chóp đều, đáy là hình vuông, các mặt bên là các tam giác cân chung đỉnh. Mỗi cạnh bên của kim tự tháp dài 214m, cạnh đáy của nó dài 230m.

a) Tính theo mét chiều cao h của kim tự tháp (làm tròn đến số thập phân thứ nhất)

b) Cho biết thể tích của hình chóp được tính theo công thức $V = \frac{1}{3} S . h$ , trong đó S là diện tích mặt đáy, h là chiều cao của hình chóp. Tính theo m³ thể tích của kim tự tháp (làm tròn đến hàng nghìn)

Xem đáp án

Lời giải

Kim tự tháp Keop – Ai cập có dạng hình chóp đều, đáy là hình vuông, các mặt bên là các tam giác cân chung đỉnh. Mỗi cạnh bên của kim tự tháp dài 214m, cạnh đáy của nó dài 230m. a) Tính theo mét chiều cao h của kim tự tháp (làm tròn đến số thập phân thứ nhất) b) Cho biết thể tích của hình chóp được tính theo công thức , trong đó S là diện tích mặt đáy, h là chiều cao của hình chóp. Tính theo m3 thể tích của kim tự tháp (làm tròn đến hàng nghìn) (ảnh 1)

a) Vì ABCD là hình vuông $\Rightarrow A C = A D \sqrt{2} = 230. \sqrt{2}$

$\Rightarrow A O = \frac{A C}{2} = \frac{230 \sqrt{2}}{2} = 115 \sqrt{2}$

Tam giác SAO vuông tại O nên áp dụng Pytago ta có:

$A O^{2} + S O^{2} = S A^{2}$

$\begin{array}{l} h a y {(115 \sqrt{2})}^{2} + h^{2} = 214^{2} \\ \Rightarrow h = \sqrt{214^{2} - {(115 \sqrt{2})}^{2}} \approx 139,1 \end{array}$

b) T a có diện tích mặt đáy là: $230.230 = 52900 (m^{2})$

Thể tích của kim tự tháp là $V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} .52900.139,1 \approx 2453000 (m^{2})$

Câu 2

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H (H nằm giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O; R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O; R) tại điểm K (K khác A), hai dây MN và BK cắt nhau ở E.

a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh: CA.CK = CE.CH.

c) Qua điểm N, kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AC, (d) cắt tia MK tại F. Chứng minh tam giác cân.

d) Khi KE = KC. Chứng minh rằng: OK // MN.

Xem đáp án

Lời giải

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H (H nằm giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O; R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O; R) tại điểm K (K khác A), hai dây MN và BK cắt nhau ở E. a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh: CA.CK = CE.CH. c) Qua điểm N, kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AC, (d) cắt tia MK tại F. Chứng minh tam giác cân. d) Khi KE = KC. Chứng minh rằng: OK // MN. (ảnh 1)

a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.

Ta có : $\hat{A H E} = 90^{0}$

$\hat{A K B} = 90^{0}$ $\Rightarrow \hat{A H E} + \hat{A K B} = 180^{0}$ (1)

Hai góc $\hat{A H E}, \hat{A K B}$ đối nhau (2)

Từ (1), (2) ta có tứ giác AHEK nội tiếp đường tròn đường kính AE.

b) Chứng minh: CA.CK = CE.CH.

Do tứ giác AHEK nội tiếp nên $\hat{H A K} = \hat{K E N}$

vì chung và $\hat{H A K} = \hat{K E N}$ $(\hat{A H C} = \hat{E K C} = 90^{0})$

nên $\frac{C K}{C H} = \frac{CE}{CA} \Leftrightarrow C K . C A = C H . C E$

c)Qua điểm N, kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AC, (d) cắt tia MK tại F. Chứng minh tam giác cân.

Do KB // FN nên $\hat{E K N} = \hat{K N F}, \hat{M K B} = \hat{K F N}$ (3)

mà $\hat{M K B} = \hat{E K N}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung bằng nhau) (4)

(3), (4) $\Rightarrow \hat{K N F} = \hat{K F N}$ nên tam giác KFN cân tại K.

d) Khi KE = KC. Chứng minh rằng: OK // MN.

Ta có vuông tại K.

mà KE = KC nên tam giác KEC vuông cân tại K $\Rightarrow \hat{K E C} = 45^{0}$

$\hat{O A K} = \hat{O K A} = \hat{K E C} = 45^{0} \Rightarrow \hat{A O K} = 90^{0}$ hay

mà $M N ⊥ A B$ nên OK //MN

Câu 3