Câu hỏi:

11/07/2024 3,607

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và góc A bằng 45 độ . Gọi D , E lần lượt là các hình chiếu vuông góc của B , C lên AC , AB; H là giao điểm của BD và CE .
a) Chứng minh tứ giác BECD nội tiếp.
b) Chứng minh DE.AB=BC.AD và tính tỉ số ED/BC .
c) Chứng minh HE+HD=BE+CD .
d) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC . Chứng minh AI vuông góc với DE .

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Cho tam giác ABC  có ba góc nhọn và góc A bằng 45 độ . Gọi D , E  lần lượt là các hình chiếu vuông góc của B , C  lên AC ,  AB;  H là giao điểm của  BD và CE . a) Chứng minh tứ giác BECD  nội tiếp. b) Chứng minh DE.AB=BC.AD  và tính tỉ số ED/BC . c) Chứng minh HE+HD=BE+CD . d) Gọi I  là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC . Chứng minh AI vuông góc với DE . (ảnh 1)

a) Theo giả thiết . Khi đó tứ giác BECD   có đỉnh E và D cùng nhìn cạnh  dưới hai góc bằng nhau nên tứ giác BECD  nội tiếp.

b) Tứ giác BECD  nội tiếp nên BED^   (cùng bù với ).

Xét ΔADE     ΔABC có AED^=ACB^   A^  chung nên  ΔADEΔABC.

Do đó ADDE=ABBCDEAB=BCAD .

Từ ADDE=ABBCDEBC=ADAB .

 ΔABD vuông tại D nên ta có

DEBC=ADAB=cosBAD^=cos45°=22.

c) ΔABD  vuông tại D   BAD^=45°  nên ABD^=45°EBH^=45°

ΔEBH vuông cân tại  E HE=BE .     (1)

Chứng minh tương tự ΔCDH   vuông cân tại  D HD=CD .        (2)

Từ  (1) và (2)  suy ra HE+HD=BE+CD .

d) Vì I   là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên I là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC  .

Ta có  thuộc trung trực của ; E thuộc trung trực của AC   (vì tam giác AEC vuông cân tại E) suy ra  EIACEIAD.           (3)

Chứng minh tương tự DIABDIAE  .           (4)

Từ (3) và (4) suy ra  là trực tâm của ΔAEDAIDE  .

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H (H nằm giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O; R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O; R) tại điểm K (K khác A), hai dây MN và BK cắt nhau ở E. a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh: CA.CK = CE.CH. c) Qua điểm N, kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AC, (d) cắt tia MK tại F. Chứng minh tam giác  cân. d) Khi KE = KC. Chứng minh rằng: OK // MN. (ảnh 1)

a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.

Ta có :  AHE^=900

AKB^=900  AHE^+AKB^=1800                  (1)

Hai góc AHE^,AKB^  đối nhau           (2)

Từ (1), (2) ta có tứ giác AHEK nội tiếp đường tròn đường kính AE.

b) Chứng minh: CA.CK = CE.CH.

Do tứ giác AHEK nội tiếp nên   HAK^=KEN^   

 chung và HAK^=KEN^    AHC^=EKC^=900     

nên CKCH=CECACK.CA=CH.CE

c)Qua điểm N, kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AC, (d) cắt tia MK tại F. Chứng minh tam giác cân.

            Do KB // FN nên    EKN^=KNF^,MKB^=KFN^                       (3)

MKB^=EKN^  (góc nội tiếp cùng chắn cung bằng nhau)      (4)

(3), (4) KNF^=KFN^   nên tam giác KFN cân tại K.

d) Khi KE = KC. Chứng minh rằng: OK // MN.

Ta có  vuông tại K.

mà KE = KC nên tam giác KEC vuông cân tại K KEC^=450

OAK^=OKA^=KEC^=450AOK^=900 hay

MNAB  nên OK //MN

 

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP