Câu hỏi:

11/07/2024 920

Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại điểm C cắt các đường thẳng AB và AD theo thứ tự tại M, N. Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BD, K là giao điểm của hai đường thẳng MN và BD.

a) Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh: $AD \cdot AN = AB \cdot AM$

c) Gọi E là trung điểm của MN. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng

d) Cho AB = 6 cm, AD = 8 cm. Tính độ dài đoạn MN.

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2019 có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn lý Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại điểm C cắt các đường thẳng AB và AD theo thứ tự tại M, N. Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BD, K là giao điểm của hai đường thẳng MN và BD. a) Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh: c) Gọi E là trung điểm của MN. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng d) Cho AB = 6 cm, AD = 8 cm. Tính độ dài đoạn MN. (ảnh 1)

a) Xét tứ giác AHCK có $\hat{A H K} = 90^{\circ}$ (gt)

CK là tiếp tuyến của đường tròn tâm O, AC là đường kính nên $A C ⊥ C K$ .

Suy ra $\hat{A C K} = 90^{\circ}$

Vậy hai đỉnh H và C cùng nhìn AK dưới một góc vuông

nên AHCK là tứ giác nội tiếp.

b) Vì ABCD là hình chữ nhậ nên $\hat{A D B} = \hat{A C B}$

$\hat{A M N} = \hat{A C B}$ (cùng phụ với $\hat{B A C}$ )

Do đó $\hat{A M N} = \hat{A D B}$

Xét $Δ A M N$ và $Δ A D B$ ta có:

$\hat{D A B} = \hat{M A N} = 90^{\circ}$

$\hat{A D B} = \hat{A M N}$ (cmt)

Nên $Δ A M N ~ Δ A D B$ (g.g)

Suy ra $\frac{A M}{A D} = \frac{A N}{A B} \Leftrightarrow A D \cdot A N = A B \cdot A M$

c) Gọi E là trung điểm của MN. Chứng minh ba điểm $A, H, E$ thẳng hàng

Giả sử AE cắt BD tại I, ta chứng minh $I \equiv H$ . Thật vậy:

Tam giác AMN vuông tại A có E là trung điểm MN nên tam giác AEN cân tại E, do đó $\hat{E A N} = \hat{E N A}$ (3)

Theo chứng minh trên: $\hat{A D B} = \hat{A M N}$ (4)

Từ (3) và (4) ta có: $\hat{E A N} + \hat{A D B} = \hat{A M N} + \hat{E N A} = 90^{\circ}$ hay $\hat{A I D} = 90^{\circ}$

Suy ra $A I ⊥ B D$ tại I. Do đó $I \equiv H$ hay $A, H, E$ thẳng hàng.

d) Đặt $A N = x; A M = y (x > 0; y > 0)$ . Khi đó $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = 10 (c m)$ và:

$\{\begin{cases} A M \cdot A B = A N \cdot A D \\ \frac{1}{A N^{2}} + \frac{1}{A M^{2}} = \frac{1}{A C^{2}} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 x = 3 y \\ \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{100} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{25}{2} \\ y = \frac{50}{3} \end{cases}$

Mặt khác: . $A M \cdot A N = A C \cdot M N \Rightarrow M N = \frac{125}{6} (c m)$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H (H nằm giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O; R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O; R) tại điểm K (K khác A), hai dây MN và BK cắt nhau ở E.

a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh: CA.CK = CE.CH.

c) Qua điểm N, kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AC, (d) cắt tia MK tại F. Chứng minh tam giác cân.

d) Khi KE = KC. Chứng minh rằng: OK // MN.

Xem đáp án » 11/07/2024 13,876

Câu 2:

Kim tự tháp Keop – Ai cập có dạng hình chóp đều, đáy là hình vuông, các mặt bên là các tam giác cân chung đỉnh. Mỗi cạnh bên của kim tự tháp dài 214m, cạnh đáy của nó dài 230m.

a) Tính theo mét chiều cao h của kim tự tháp (làm tròn đến số thập phân thứ nhất)

b) Cho biết thể tích của hình chóp được tính theo công thức $V = \frac{1}{3} S . h$ , trong đó S là diện tích mặt đáy, h là chiều cao của hình chóp. Tính theo m³ thể tích của kim tự tháp (làm tròn đến hàng nghìn)

Xem đáp án » 11/07/2024 11,962

Câu 3:

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH , biết AB=5cm, BH=3cm . Tính AH, AC và sin CAH.

Xem đáp án » 13/07/2024 10,194

Câu 4:

Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ cát tuyến AMN không đi qua (O) (M nằm giữa A và N). Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O;R). (B và C là hai tiếp điểm và C tuộc cung nhỏ MN). Đường thẳng BC cắt MN và AO lần lượt tại E và F. Gọi I là trung điểm của MN.

a) Chứng minh rằng tứ giác ABOC nội tiếp được trong đường tròn.

b) Chứng minh EB.EC = EM.EN và IA là phân giác của $\hat{B I C}$ .

c) Tia MF cắt (O;R) tại điểm thứ hai là D. Chứng minh rằng $Δ A M F ∽ Δ A O N$ và $B C // D N$ .

d) Giả sử OA = 2R. Tính diện tích tam giác ABC theo R.

Xem đáp án » 11/07/2024 6,401

Câu 5:

Cho đường tròn đường kính AB , các điểm C,D nằm trên đường tròn đó sao cho C,D nằm khác phía đối với đường thẳng AB , đồng thời AD>AC. Gọi điểm chính giữa của các cung nhỏ AC,AD lần lượt là M,N ; giao điểm của MN với AC,AD lần lượt là H,I; giao điểm của MD và CN là K.

a) Chứng minh $\hat{A C N} = \hat{D M N}$ . Từ đó suy ra tứ giác $M C K H$ nội tiếp.

b) Chứng minh $K H$ song song với $A D$ .

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa sđ $\overset{⏜}{A C}$ và sđ $\overset{⏜}{A D}$ để song song với $N D$ .

Xem đáp án » 11/07/2024 4,181

Câu 6:

Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB<AC ), đường cao AH ( H thuộc BC) lấy điểm D sao cho BD=BA , vẽ CE vuông góc với AD ( E thuộc AD)

a)      Chứng minh tứ giác AHCE là tứ giác nội tiếp

b)      Chứng minh $D A . H E = D H . A C$

c)      Chứng minh tam giác EHC cân

Xem đáp án » 11/07/2024 3,549

Câu 7:

Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H, đường thẳng AH cắt DC tại E, biết AH = 4 cm, HE = 2 cm. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD

Xem đáp án » 11/07/2024 2,781

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Đăng ký gói thi VIP

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.