Câu hỏi:

11/07/2024 1,815

Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại điểm C cắt các đường thẳng AB và AD theo thứ tự tại M, N. Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BD, K là giao điểm của hai đường thẳng MN và BD.

a) Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh: $AD \cdot AN = AB \cdot AM$

c) Gọi E là trung điểm của MN. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng

d) Cho AB = 6 cm, AD = 8 cm. Tính độ dài đoạn MN.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2019 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại điểm C cắt các đường thẳng AB và AD theo thứ tự tại M, N. Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BD, K là giao điểm của hai đường thẳng MN và BD. a) Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh: c) Gọi E là trung điểm của MN. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng d) Cho AB = 6 cm, AD = 8 cm. Tính độ dài đoạn MN. (ảnh 1)

a) Xét tứ giác AHCK có $\hat{A H K} = 90^{\circ}$ (gt)

CK là tiếp tuyến của đường tròn tâm O, AC là đường kính nên $A C ⊥ C K$ .

Suy ra $\hat{A C K} = 90^{\circ}$

Vậy hai đỉnh H và C cùng nhìn AK dưới một góc vuông

nên AHCK là tứ giác nội tiếp.

b) Vì ABCD là hình chữ nhậ nên $\hat{A D B} = \hat{A C B}$

$\hat{A M N} = \hat{A C B}$ (cùng phụ với $\hat{B A C}$ )

Do đó $\hat{A M N} = \hat{A D B}$

Xét $Δ A M N$ và $Δ A D B$ ta có:

$\hat{D A B} = \hat{M A N} = 90^{\circ}$

$\hat{A D B} = \hat{A M N}$ (cmt)

Nên $Δ A M N ~ Δ A D B$ (g.g)

Suy ra $\frac{A M}{A D} = \frac{A N}{A B} \Leftrightarrow A D \cdot A N = A B \cdot A M$

c) Gọi E là trung điểm của MN. Chứng minh ba điểm $A, H, E$ thẳng hàng

Giả sử AE cắt BD tại I, ta chứng minh $I \equiv H$ . Thật vậy:

Tam giác AMN vuông tại A có E là trung điểm MN nên tam giác AEN cân tại E, do đó $\hat{E A N} = \hat{E N A}$ (3)

Theo chứng minh trên: $\hat{A D B} = \hat{A M N}$ (4)

Từ (3) và (4) ta có: $\hat{E A N} + \hat{A D B} = \hat{A M N} + \hat{E N A} = 90^{\circ}$ hay $\hat{A I D} = 90^{\circ}$

Suy ra $A I ⊥ B D$ tại I. Do đó $I \equiv H$ hay $A, H, E$ thẳng hàng.

d) Đặt $A N = x; A M = y (x > 0; y > 0)$ . Khi đó $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = 10 (c m)$ và:

$\{\begin{cases} A M \cdot A B = A N \cdot A D \\ \frac{1}{A N^{2}} + \frac{1}{A M^{2}} = \frac{1}{A C^{2}} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 x = 3 y \\ \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{100} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{25}{2} \\ y = \frac{50}{3} \end{cases}$

Mặt khác: . $A M \cdot A N = A C \cdot M N \Rightarrow M N = \frac{125}{6} (c m)$

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Kim tự tháp Keop – Ai cập có dạng hình chóp đều, đáy là hình vuông, các mặt bên là các tam giác cân chung đỉnh. Mỗi cạnh bên của kim tự tháp dài 214m, cạnh đáy của nó dài 230m.

a) Tính theo mét chiều cao h của kim tự tháp (làm tròn đến số thập phân thứ nhất)

b) Cho biết thể tích của hình chóp được tính theo công thức $V = \frac{1}{3} S . h$ , trong đó S là diện tích mặt đáy, h là chiều cao của hình chóp. Tính theo m³ thể tích của kim tự tháp (làm tròn đến hàng nghìn)

Xem đáp án

Lời giải

Kim tự tháp Keop – Ai cập có dạng hình chóp đều, đáy là hình vuông, các mặt bên là các tam giác cân chung đỉnh. Mỗi cạnh bên của kim tự tháp dài 214m, cạnh đáy của nó dài 230m. a) Tính theo mét chiều cao h của kim tự tháp (làm tròn đến số thập phân thứ nhất) b) Cho biết thể tích của hình chóp được tính theo công thức , trong đó S là diện tích mặt đáy, h là chiều cao của hình chóp. Tính theo m3 thể tích của kim tự tháp (làm tròn đến hàng nghìn) (ảnh 1)

a) Vì ABCD là hình vuông $\Rightarrow A C = A D \sqrt{2} = 230. \sqrt{2}$

$\Rightarrow A O = \frac{A C}{2} = \frac{230 \sqrt{2}}{2} = 115 \sqrt{2}$

Tam giác SAO vuông tại O nên áp dụng Pytago ta có:

$A O^{2} + S O^{2} = S A^{2}$

$\begin{array}{l} h a y {(115 \sqrt{2})}^{2} + h^{2} = 214^{2} \\ \Rightarrow h = \sqrt{214^{2} - {(115 \sqrt{2})}^{2}} \approx 139,1 \end{array}$

b) T a có diện tích mặt đáy là: $230.230 = 52900 (m^{2})$

Thể tích của kim tự tháp là $V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} .52900.139,1 \approx 2453000 (m^{2})$

Câu 2

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H (H nằm giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O; R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O; R) tại điểm K (K khác A), hai dây MN và BK cắt nhau ở E.

a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh: CA.CK = CE.CH.

c) Qua điểm N, kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AC, (d) cắt tia MK tại F. Chứng minh tam giác cân.

d) Khi KE = KC. Chứng minh rằng: OK // MN.

Xem đáp án

Lời giải

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H (H nằm giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O; R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O; R) tại điểm K (K khác A), hai dây MN và BK cắt nhau ở E. a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh: CA.CK = CE.CH. c) Qua điểm N, kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AC, (d) cắt tia MK tại F. Chứng minh tam giác cân. d) Khi KE = KC. Chứng minh rằng: OK // MN. (ảnh 1)

a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.

Ta có : $\hat{A H E} = 90^{0}$

$\hat{A K B} = 90^{0}$ $\Rightarrow \hat{A H E} + \hat{A K B} = 180^{0}$ (1)

Hai góc $\hat{A H E}, \hat{A K B}$ đối nhau (2)

Từ (1), (2) ta có tứ giác AHEK nội tiếp đường tròn đường kính AE.

b) Chứng minh: CA.CK = CE.CH.

Do tứ giác AHEK nội tiếp nên $\hat{H A K} = \hat{K E N}$

vì chung và $\hat{H A K} = \hat{K E N}$ $(\hat{A H C} = \hat{E K C} = 90^{0})$

nên $\frac{C K}{C H} = \frac{CE}{CA} \Leftrightarrow C K . C A = C H . C E$

c)Qua điểm N, kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AC, (d) cắt tia MK tại F. Chứng minh tam giác cân.

Do KB // FN nên $\hat{E K N} = \hat{K N F}, \hat{M K B} = \hat{K F N}$ (3)

mà $\hat{M K B} = \hat{E K N}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung bằng nhau) (4)

(3), (4) $\Rightarrow \hat{K N F} = \hat{K F N}$ nên tam giác KFN cân tại K.

d) Khi KE = KC. Chứng minh rằng: OK // MN.

Ta có vuông tại K.

mà KE = KC nên tam giác KEC vuông cân tại K $\Rightarrow \hat{K E C} = 45^{0}$

$\hat{O A K} = \hat{O K A} = \hat{K E C} = 45^{0} \Rightarrow \hat{A O K} = 90^{0}$ hay

mà $M N ⊥ A B$ nên OK //MN

Câu 3