Cho ba số thực a,b,c. Chứng minh rằng a2−bc3+b2−ca+c2−ab3≥3a2−bcb2−cac2−ab

Đặt x=a2−bc,y=b2−ca,z=c2−ab Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x3+y3+z3≥3xyz Ta có: x3+y3+z3−3xyz=x3+y3−3xyz+z3=x+y3−3xyx+y−3xyz+z3=x+y3+z3−3xyx+y+z=x+y+zx+y2−x+yz+z2−3xyx+y+z=x+y+zx2+2xy+y2−xz−yz+z2−3xy=x+y+zx2+y2+z2−xy−yz−xz Dễ thấy x2+y2+z2−xy−yz−xz=12x2−2xy+y2+y2−2yz+z2+z2−2zx+x2=12x−y2+y−z2+z−x2≥0∀x,y,z Do đó ta đi xét dấu x+ y +z Ta có: x+y+z=a2−bc+b2−ca+c2−ab =a2+b2+c2−ab−bc−ca=12a−b2+b−c2+c−a2≥0,∀a,b,c Suy ra x+y+z≥0⇒x+y+zx2+y2+z2−xy−yz−zx≥0 ⇒x3+y3+z3≥3xyz hay a2−bc3+b2−ca3+c2−ab3≥3a2−bcb2−cac2−ab(dfcm) dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Câu hỏi:

11/07/2024 437

Cho ba số thực a,b,c. Chứng minh rằng

${(a^{2} - b c)}^{3} + (b^{2} - c a) + {(c^{2} - a b)}^{3} \geq 3 (a^{2} - b c) (b^{2} - c a) (c^{2} - a b)$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt $x = a^{2} - b c, y = b^{2} - c a, z = c^{2} - a b$

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành $x^{3} + y^{3} + z^{3} \geq 3 x y z$

Ta có:

$\begin{array}{l} x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z = (x^{3} + y^{3}) - 3 x y z + z^{3} \\ = {(x + y)}^{3} - 3 x y (x + y) - 3 x y z + z^{3} \\ = {(x + y)}^{3} + z^{3} - 3 x y (x + y + z) \\ = (x + y + z) [{(x + y)}^{2} - (x + y) z + z^{2}] - 3 x y (x + y + z) \\ = (x + y + z) [x^{2} + 2 x y + y^{2} - x z - y z + z^{2} - 3 x y] \\ = (x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - x z) \end{array}$

Dễ thấy

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - x z = \frac{1}{2} (x^{2} - 2 x y + y^{2} + y^{2} - 2 y z + z^{2} + z^{2} - 2 z x + x^{2}) \\ = \frac{1}{2} [{(x - y)}^{2} + {(y - z)}^{2} + {(z - x)}^{2}] \geq 0 \forall x, y, z \end{array}$

Do đó ta đi xét dấu x+ y +z

Ta có:

$x + y + z = a^{2} - b c + b^{2} - c a + c^{2} - a b$

$= a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a = \frac{1}{2} [{(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2}] \geq 0, \forall a, b, c$

Suy ra $x + y + z \geq 0 \Rightarrow (x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x) \geq 0$

$\Rightarrow x^{3} + y^{3} + z^{3} \geq 3 x y z$

hay ${(a^{2} - b c)}^{3} + {(b^{2} - c a)}^{3} + {(c^{2} - a b)}^{3} \geq 3 (a^{2} - b c) (b^{2} - c a) (c^{2} - a b) (d f c m)$

dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c$

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - 3 x + 1 = 0.$ Hãy lập một phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm là $2 x_{1} - {(x_{2})}^{2}$ và $2 x_{2} - {(x_{1})}^{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2} (g t)$ nên áp dụng định lý Viet ta có:

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 3 \\ x_{1} x_{2} = 1 \end{cases}$

Xét các tổng và tích sau:

$\begin{array}{l} P = [2 x_{1} - {(x_{2})}^{2}] [2 x_{2} - {(x_{1})}^{2}] = 4 x_{1} x_{2} - 2 x_{1}^{3} - 2 x_{2}^{3} + {(x_{1} x_{2})}^{2} \\ = 4 x_{1} x_{2} - 2 (x_{1}^{3} + x_{2}^{3}) + {(x_{1} x_{2})}^{2} \\ = 4 x_{1} x_{2} - 2 [{(x_{1} + x_{2})}^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2})] + {(x_{1} x_{2})}^{2} \\ = 4.1 - 2. [3^{3} - 3.1.3] + 1^{2} = - 31 \end{array}$

$\begin{array}{l} S = 2 x_{1} - {(x_{2})}^{2} + 2 x_{2} - {(x_{1})}^{2} = 2 (x_{1} + x_{2}) - (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) \\ = 2 (x_{1} + x_{2}) - [{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2}] = 2.3 - [3^{2} - 2.1] = - 1 \end{array}$

Ta có: $S^{2} = {(- 1)}^{2} = 1 \geq 4 P = - 124$

$\Rightarrow 2 x_{1} - {(x_{2})}^{2}$ và $2 x_{2} - {(x_{1})}^{2}$ là hai nghiệm của phương trình

$X^{2} - S X + P = 0 \Leftrightarrow X^{2} + X - 31 = 0$

Câu 2

Bác B vay ở một ngân hàng triệu động để sản xuất trong thời hạn 1 năm. Lẽ ra đúng một năm sau bác phải trả cả tiền vốn và lãi, song, bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm 1 năm nữa, số tiền lãi của năm đầu được tính gộp vào tiền vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết 2 năm, bác B phải trả tất cả triệu đồng. Hỏi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là bao nhiêu phần trăm trong một năm

Xem đáp án

Lời giải

Gọi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là (%/năm) (ĐK: $x > 0)$

Số tiền lãi bác B phải trả sau 1 năm gửi 100 triệu đồng là $100. x % = x$ (triệu đồng)

$\to$ Số tiền bác B phải trả sau 1 năm là 100+x (triệu đồng)

Do số tiền lãi của năm đầu được tính gộp vào tiền vốn để tính lãi năm sau nên số tiền lãi bác B phải trả sau 2 năm là $(100 + x) x % = \frac{(100 + x) x}{100}$ (triệu đồng)

Hết 2 năm bác B phải trả tất cả là triệu đồng nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l} 100 + x + \frac{(100 + x) x}{100} = 121 \Leftrightarrow 10000 + 100 x + 100 x + x^{2} = 12100 \\ \Leftrightarrow x^{2} + 200 x - 2100 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 10 x + 210 x - 2100 = 0 \\ \Leftrightarrow x (x - 10) + 210 (x - 10) = 0 \Leftrightarrow (x - 10) (x + 210) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 10 (t m) \\ x = - 210 (k t m) \end{array} \end{array}$

Vậy lãi suất của ngân hàng đó là $10 %$ /năm

Câu 3