Cho ba số thực a,b,c. Chứng minh rằng a2−bc3+b2−ca+c2−ab3≥3a2−bcb2−cac2−ab

Đặt x=a2−bc,y=b2−ca,z=c2−ab Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x3+y3+z3≥3xyz Ta có: x3+y3+z3−3xyz=x3+y3−3xyz+z3=x+y3−3xyx+y−3xyz+z3=x+y3+z3−3xyx+y+z=x+y+zx+y2−x+yz+z2−3xyx+y+z=x+y+zx2+2xy+y2−xz−yz+z2−3xy=x+y+zx2+y2+z2−xy−yz−xz Dễ thấy x2+y2+z2−xy−yz−xz=12x2−2xy+y2+y2−2yz+z2+z2−2zx+x2=12x−y2+y−z2+z−x2≥0∀x,y,z Do đó ta đi xét dấu x+ y +z Ta có: x+y+z=a2−bc+b2−ca+c2−ab =a2+b2+c2−ab−bc−ca=12a−b2+b−c2+c−a2≥0,∀a,b,c Suy ra x+y+z≥0⇒x+y+zx2+y2+z2−xy−yz−zx≥0 ⇒x3+y3+z3≥3xyz hay a2−bc3+b2−ca3+c2−ab3≥3a2−bcb2−cac2−ab(dfcm) dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Câu hỏi:

11/07/2024 322

Cho ba số thực a,b,c. Chứng minh rằng

${(a^{2} - b c)}^{3} + (b^{2} - c a) + {(c^{2} - a b)}^{3} \geq 3 (a^{2} - b c) (b^{2} - c a) (c^{2} - a b)$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1) !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt $x = a^{2} - b c, y = b^{2} - c a, z = c^{2} - a b$

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành $x^{3} + y^{3} + z^{3} \geq 3 x y z$

Ta có:

$\begin{array}{l} x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z = (x^{3} + y^{3}) - 3 x y z + z^{3} \\ = {(x + y)}^{3} - 3 x y (x + y) - 3 x y z + z^{3} \\ = {(x + y)}^{3} + z^{3} - 3 x y (x + y + z) \\ = (x + y + z) [{(x + y)}^{2} - (x + y) z + z^{2}] - 3 x y (x + y + z) \\ = (x + y + z) [x^{2} + 2 x y + y^{2} - x z - y z + z^{2} - 3 x y] \\ = (x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - x z) \end{array}$

Dễ thấy

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - x z = \frac{1}{2} (x^{2} - 2 x y + y^{2} + y^{2} - 2 y z + z^{2} + z^{2} - 2 z x + x^{2}) \\ = \frac{1}{2} [{(x - y)}^{2} + {(y - z)}^{2} + {(z - x)}^{2}] \geq 0 \forall x, y, z \end{array}$

Do đó ta đi xét dấu x+ y +z

Ta có:

$x + y + z = a^{2} - b c + b^{2} - c a + c^{2} - a b$

$= a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a = \frac{1}{2} [{(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2}] \geq 0, \forall a, b, c$

Suy ra $x + y + z \geq 0 \Rightarrow (x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x) \geq 0$

$\Rightarrow x^{3} + y^{3} + z^{3} \geq 3 x y z$

hay ${(a^{2} - b c)}^{3} + {(b^{2} - c a)}^{3} + {(c^{2} - a b)}^{3} \geq 3 (a^{2} - b c) (b^{2} - c a) (c^{2} - a b) (d f c m)$

dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - 3 x + 1 = 0.$ Hãy lập một phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm là $2 x_{1} - {(x_{2})}^{2}$ và $2 x_{2} - {(x_{1})}^{2}$

Xem đáp án » 11/07/2024 10,890

Câu 2:

Bác B vay ở một ngân hàng triệu động để sản xuất trong thời hạn 1 năm. Lẽ ra đúng một năm sau bác phải trả cả tiền vốn và lãi, song, bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm 1 năm nữa, số tiền lãi của năm đầu được tính gộp vào tiền vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết 2 năm, bác B phải trả tất cả triệu đồng. Hỏi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là bao nhiêu phần trăm trong một năm

Xem đáp án » 11/07/2024 8,289

Câu 3:

2, Giải hệ phương trình : $\{\begin{cases} 2 x - 3 y = - 5 \\ 3 x + 4 y = 18 \end{cases}$

Xem đáp án » 11/07/2024 5,821

Câu 4:

b, Tìm các tham số thực m để hai đường thẳng $y = (m^{2} + 1) x + m$ và $y = 2 x - 1$ song song với nhau.

Xem đáp án » 11/07/2024 4,967

Câu 5:

Cho tam giác MNP vuông tại N có $M N = 4 a, N P = 3 a$ với Tính theo a diện tích xung quanh của hình nón tạo bởi tam giác MNP quay quanh đường thẳng MN

Xem đáp án » 11/07/2024 2,810

Câu 6:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại trực tâm H. Biết ba góc $\hat{C A B}, \hat{A B C}, \hat{B A C}$ đều là góc nhọn

a, Chứng minh bốn điểm $B, C, D, E$ cùng thuộc một đường tròn.

Xem đáp án » 11/07/2024 2,153

Câu 7:

Tìm các số thực x và y thỏa mãn $\{\begin{cases} 4 x^{2} - x y = 2 \\ y^{2} - 3 x y = - 2 \end{cases}$

Xem đáp án » 11/07/2024 1,915

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

Cho ba số thực a,b,c. Chứng minh rằng

${(a^{2} - b c)}^{3} + (b^{2} - c a) + {(c^{2} - a b)}^{3} \geq 3 (a^{2} - b c) (b^{2} - c a) (c^{2} - a b)$

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - 3 x + 1 = 0.$ Hãy lập một phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm là $2 x_{1} - {(x_{2})}^{2}$ và $2 x_{2} - {(x_{1})}^{2}$

2, Giải hệ phương trình : $\{\begin{cases} 2 x - 3 y = - 5 \\ 3 x + 4 y = 18 \end{cases}$

b, Tìm các tham số thực m để hai đường thẳng $y = (m^{2} + 1) x + m$ và $y = 2 x - 1$ song song với nhau.

Cho tam giác MNP vuông tại N có $M N = 4 a, N P = 3 a$ với Tính theo a diện tích xung quanh của hình nón tạo bởi tam giác MNP quay quanh đường thẳng MN

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại trực tâm H. Biết ba góc $\hat{C A B}, \hat{A B C}, \hat{B A C}$ đều là góc nhọn

a, Chứng minh bốn điểm $B, C, D, E$ cùng thuộc một đường tròn.

Tìm các số thực x và y thỏa mãn $\{\begin{cases} 4 x^{2} - x y = 2 \\ y^{2} - 3 x y = - 2 \end{cases}$

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho ba số thực a,b,c. Chứng minh rằng a2−bc3+b2−ca+c2−ab3≥3a2−bcb2−cac2−ab

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho x1,x2 là hai nghiệm của phương trình x2−3x+1=0. Hãy lập một phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm là 2x1−x22 và 2x2−x12

2, Giải hệ phương trình : 2x−3y=−53x+4y=18

b, Tìm các tham số thực m để hai đường thẳng y=m2+1x+m và y=2x−1song song với nhau.

Cho tam giác MNP vuông tại N có MN=4a,NP=3a với Tính theo a diện tích xung quanh của hình nón tạo bởi tam giác MNP quay quanh đường thẳng MN

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại trực tâm H. Biết ba góc CAB^,ABC^,BAC^ đều là góc nhọn a, Chứng minh bốn điểm B,C,D,E cùng thuộc một đường tròn.

Tìm các số thực x và y thỏa mãn 4x2−xy=2y2−3xy=−2

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho ba số thực a,b,c. Chứng minh rằng

${(a^{2} - b c)}^{3} + (b^{2} - c a) + {(c^{2} - a b)}^{3} \geq 3 (a^{2} - b c) (b^{2} - c a) (c^{2} - a b)$

Cho $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - 3 x + 1 = 0.$ Hãy lập một phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm là $2 x_{1} - {(x_{2})}^{2}$ và $2 x_{2} - {(x_{1})}^{2}$

2, Giải hệ phương trình : $\{\begin{cases} 2 x - 3 y = - 5 \\ 3 x + 4 y = 18 \end{cases}$

b, Tìm các tham số thực m để hai đường thẳng $y = (m^{2} + 1) x + m$ và $y = 2 x - 1$ song song với nhau.

Cho tam giác MNP vuông tại N có $M N = 4 a, N P = 3 a$ với Tính theo a diện tích xung quanh của hình nón tạo bởi tam giác MNP quay quanh đường thẳng MN

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại trực tâm H. Biết ba góc $\hat{C A B}, \hat{A B C}, \hat{B A C}$ đều là góc nhọn

a, Chứng minh bốn điểm $B, C, D, E$ cùng thuộc một đường tròn.

Tìm các số thực x và y thỏa mãn $\{\begin{cases} 4 x^{2} - x y = 2 \\ y^{2} - 3 x y = - 2 \end{cases}$