Cho ba số thực a,b,c. Chứng minh rằng a2−bc3+b2−ca+c2−ab3≥3a2−bcb2−cac2−ab

Đặt x=a2−bc,y=b2−ca,z=c2−ab Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x3+y3+z3≥3xyz Ta có: x3+y3+z3−3xyz=x3+y3−3xyz+z3=x+y3−3xyx+y−3xyz+z3=x+y3+z3−3xyx+y+z=x+y+zx+y2−x+yz+z2−3xyx+y+z=x+y+zx2+2xy+y2−xz−yz+z2−3xy=x+y+zx2+y2+z2−xy−yz−xz Dễ thấy x2+y2+z2−xy−yz−xz=12x2−2xy+y2+y2−2yz+z2+z2−2zx+x2=12x−y2+y−z2+z−x2≥0∀x,y,z Do đó ta đi xét dấu x+ y +z Ta có: x+y+z=a2−bc+b2−ca+c2−ab =a2+b2+c2−ab−bc−ca=12a−b2+b−c2+c−a2≥0,∀a,b,c Suy ra x+y+z≥0⇒x+y+zx2+y2+z2−xy−yz−zx≥0 ⇒x3+y3+z3≥3xyz hay a2−bc3+b2−ca3+c2−ab3≥3a2−bcb2−cac2−ab(dfcm) dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Câu hỏi:

11/07/2024 353

Cho ba số thực a,b,c. Chứng minh rằng

${(a^{2} - b c)}^{3} + (b^{2} - c a) + {(c^{2} - a b)}^{3} \geq 3 (a^{2} - b c) (b^{2} - c a) (c^{2} - a b)$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt $x = a^{2} - b c, y = b^{2} - c a, z = c^{2} - a b$

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành $x^{3} + y^{3} + z^{3} \geq 3 x y z$

Ta có:

$\begin{array}{l} x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z = (x^{3} + y^{3}) - 3 x y z + z^{3} \\ = {(x + y)}^{3} - 3 x y (x + y) - 3 x y z + z^{3} \\ = {(x + y)}^{3} + z^{3} - 3 x y (x + y + z) \\ = (x + y + z) [{(x + y)}^{2} - (x + y) z + z^{2}] - 3 x y (x + y + z) \\ = (x + y + z) [x^{2} + 2 x y + y^{2} - x z - y z + z^{2} - 3 x y] \\ = (x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - x z) \end{array}$

Dễ thấy

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - x z = \frac{1}{2} (x^{2} - 2 x y + y^{2} + y^{2} - 2 y z + z^{2} + z^{2} - 2 z x + x^{2}) \\ = \frac{1}{2} [{(x - y)}^{2} + {(y - z)}^{2} + {(z - x)}^{2}] \geq 0 \forall x, y, z \end{array}$

Do đó ta đi xét dấu x+ y +z

Ta có:

$x + y + z = a^{2} - b c + b^{2} - c a + c^{2} - a b$

$= a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a = \frac{1}{2} [{(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2}] \geq 0, \forall a, b, c$

Suy ra $x + y + z \geq 0 \Rightarrow (x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x) \geq 0$

$\Rightarrow x^{3} + y^{3} + z^{3} \geq 3 x y z$

hay ${(a^{2} - b c)}^{3} + {(b^{2} - c a)}^{3} + {(c^{2} - a b)}^{3} \geq 3 (a^{2} - b c) (b^{2} - c a) (c^{2} - a b) (d f c m)$

dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c$

Nhà sách vietjack

Xem thêm kho sách »

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - 3 x + 1 = 0.$ Hãy lập một phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm là $2 x_{1} - {(x_{2})}^{2}$ và $2 x_{2} - {(x_{1})}^{2}$

Xem đáp án » 11/07/2024 12,531

Câu 2:

Bác B vay ở một ngân hàng triệu động để sản xuất trong thời hạn 1 năm. Lẽ ra đúng một năm sau bác phải trả cả tiền vốn và lãi, song, bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm 1 năm nữa, số tiền lãi của năm đầu được tính gộp vào tiền vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết 2 năm, bác B phải trả tất cả triệu đồng. Hỏi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là bao nhiêu phần trăm trong một năm

Xem đáp án » 11/07/2024 10,307

Câu 3:

2, Giải hệ phương trình : $\{\begin{cases} 2 x - 3 y = - 5 \\ 3 x + 4 y = 18 \end{cases}$

Xem đáp án » 11/07/2024 5,936

Câu 4:

b, Tìm các tham số thực m để hai đường thẳng $y = (m^{2} + 1) x + m$ và $y = 2 x - 1$ song song với nhau.

Xem đáp án » 11/07/2024 5,255

Câu 5:

Cho tam giác MNP vuông tại N có $M N = 4 a, N P = 3 a$ với Tính theo a diện tích xung quanh của hình nón tạo bởi tam giác MNP quay quanh đường thẳng MN

Xem đáp án » 11/07/2024 2,969

Câu 6:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại trực tâm H. Biết ba góc $\hat{C A B}, \hat{A B C}, \hat{B A C}$ đều là góc nhọn

a, Chứng minh bốn điểm $B, C, D, E$ cùng thuộc một đường tròn.

Xem đáp án » 11/07/2024 2,241

Câu 7:

Tìm các số thực x và y thỏa mãn $\{\begin{cases} 4 x^{2} - x y = 2 \\ y^{2} - 3 x y = - 2 \end{cases}$

Xem đáp án » 11/07/2024 1,969

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho ba số thực a,b,c. Chứng minh rằng a2−bc3+b2−ca+c2−ab3≥3a2−bcb2−cac2−ab

Bình luận

Cho x1,x2 là hai nghiệm của phương trình x2−3x+1=0. Hãy lập một phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm là 2x1−x22 và 2x2−x12

2, Giải hệ phương trình : 2x−3y=−53x+4y=18

b, Tìm các tham số thực m để hai đường thẳng y=m2+1x+m và y=2x−1song song với nhau.

Cho tam giác MNP vuông tại N có MN=4a,NP=3a với Tính theo a diện tích xung quanh của hình nón tạo bởi tam giác MNP quay quanh đường thẳng MN

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại trực tâm H. Biết ba góc CAB^,ABC^,BAC^ đều là góc nhọn a, Chứng minh bốn điểm B,C,D,E cùng thuộc một đường tròn.

Tìm các số thực x và y thỏa mãn 4x2−xy=2y2−3xy=−2

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho ba số thực a,b,c. Chứng minh rằng

${(a^{2} - b c)}^{3} + (b^{2} - c a) + {(c^{2} - a b)}^{3} \geq 3 (a^{2} - b c) (b^{2} - c a) (c^{2} - a b)$

Cho $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - 3 x + 1 = 0.$ Hãy lập một phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm là $2 x_{1} - {(x_{2})}^{2}$ và $2 x_{2} - {(x_{1})}^{2}$

2, Giải hệ phương trình : $\{\begin{cases} 2 x - 3 y = - 5 \\ 3 x + 4 y = 18 \end{cases}$

b, Tìm các tham số thực m để hai đường thẳng $y = (m^{2} + 1) x + m$ và $y = 2 x - 1$ song song với nhau.

Cho tam giác MNP vuông tại N có $M N = 4 a, N P = 3 a$ với Tính theo a diện tích xung quanh của hình nón tạo bởi tam giác MNP quay quanh đường thẳng MN

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại trực tâm H. Biết ba góc $\hat{C A B}, \hat{A B C}, \hat{B A C}$ đều là góc nhọn

a, Chứng minh bốn điểm $B, C, D, E$ cùng thuộc một đường tròn.

Tìm các số thực x và y thỏa mãn $\{\begin{cases} 4 x^{2} - x y = 2 \\ y^{2} - 3 x y = - 2 \end{cases}$