Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \[\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 4x + 4y - 17 = 0\], biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng d: 3x – 4y – 2018 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình đường thẳng d có VTPT là \(\overrightarrow {{n_d}} = \)(3; – 4) suy ra VTCP của đường thẳng d là \(\overrightarrow {{u_d}} = \)(4; 3).

Vì phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d nên nhận \(\overrightarrow {{u_d}} = \)(4; 3) làm VTPT khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: 4x + 3y + c = 0

Ta có: Đường tròn (C) có tâm I(– 2; – 2), R = 5

Bán kính đường tròn: \[R = d\left( {I;\Delta } \right)\] \[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {4.( - 2) + 3.( - 2) + c} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 5 \Leftrightarrow \frac{{\left| {c - 14} \right|}}{5} = 5\]

⇔ |c – 14| = 25\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c - 14 = 25\\c - 14 = - 25\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 39\\c = - 11\end{array} \right.\]

Suy ra có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn: 4x + 3y + 39 = 0 hoặc \[\Delta \]: 4x + 3y –11 = 0.