Câu hỏi:

13/07/2024 321

Cho biểu thức $P = a^{4} + b^{4} - a b$ , với $a, b$ là các số thực thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + a b = 3.$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $a^{2} + b^{2} + a b = 3 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = 3 - a b$

Ta thấy ${(a - b)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq 2 a b \Leftrightarrow 3 - a b \geq 2 a b \Leftrightarrow a b \leq 1$

Lại có: ${(a + b)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq - 2 a b \Leftrightarrow 3 - a b \geq - 2 a b \Leftrightarrow 3 \geq - a b \Leftrightarrow a b \geq - 3$

$\Rightarrow - 3 \leq a b \leq 1$

Xét $a^{2} + b^{2} = 3 - a b$ với $- 3 \leq a b \leq 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(a^{2} + b^{2})}^{2} = {(3 - a b)}^{2} \\ \Leftrightarrow a^{4} + b^{4} + 2 a^{2} b^{2} = 9 - 6 a b + a^{2} b^{2} \\ \Leftrightarrow a^{4} + b^{4} = - a^{2} b^{2} - 6 a b + 9 \end{array}$

Khi đó: $P = a^{4} + b^{4} - a b = - a^{2} b^{2} - 6 a b + 9 - a b = - {(a b)}^{2} - 7 a b + 9 = \frac{85}{4} - {(a b + \frac{7}{2})}^{2}$

Vì $- 3 \leq a b \leq 1 \Rightarrow \frac{1}{2} \leq a b + \frac{7}{2} \leq \frac{9}{2} \Leftrightarrow {(a b + \frac{7}{2})}^{2} \leq \frac{81}{4}$

Suy ra $P = \frac{85}{4} - {(a b + \frac{7}{2})}^{2} \geq \frac{85}{4} - \frac{81}{4} = 1 \Leftrightarrow P \geq 1$

Dấu $" = "$ xảy ra khi $a b = 1$ và $a^{2} + b^{2} = 2 \Rightarrow [\begin{array}{l} a = 1, b = 1 \\ a = - 1, b = - 1 \end{array}$

Ta lại có: $P = - {(a b)}^{2} - 7 a b + 9 = (a b + 3) (- a b - 4) + 21$

Mà $- 3 \leq a b \leq 1$ nên $\{\begin{cases} a b + 3 \geq 0 \\ - a b - 4 < 0 \end{cases}$ nên $(a b + 3) (- a b - 4) + 21$

Dấu $" = "$ xảy ra khi $\{\begin{cases} a b = - 3 \\ a^{2} + b^{2} + a b = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a b = - 3 \\ {(a + b)}^{2} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} a = \sqrt{3} \\ b = - \sqrt{3} \end{cases} \\ \{\begin{cases} a = - \sqrt{3} \\ b = \sqrt{3} \end{cases} \end{array}$

Vậy giá trị lớn nhất của P là 21, giá trị nhỏ nhất của P là 1.

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

c,Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P = AB đạt giá trị nguyên lớn nhất

Xem đáp án » 12/07/2024 56,952

Câu 2:

b, Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao 1,75m và diện tích đáy là $0,32 m^{2} .$ Hỏi bồn nước này đựng đầy nước được bao nhiêu mét khối (Bỏ qua bề dày của bồn nước)

Xem đáp án » 12/07/2024 24,239

Câu 3:

b,Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF

Xem đáp án » 12/07/2024 10,019

Câu 4:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng $(d) : y = 2 m x - m^{2} + 1$ và parabol $(P) : y = x^{2}$

a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Xem đáp án » 12/07/2024 6,436

Câu 5:

Giải phương trình: $x^{4} - 7 x^{2} - 18 = 0$ (1)

Xem đáp án » 12/07/2024 5,282

Câu 6:

b,Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{- 2}{x_{1} x_{2}} + 1$

Xem đáp án » 12/07/2024 3,472

Câu 7:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB< AC nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H

a, Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn

Xem đáp án » 12/07/2024 3,279

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho biểu thức P=a4+b4−ab , với a,b là các số thực thỏa mãn a2+b2+ab=3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Bình luận

c,Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P = AB đạt giá trị nguyên lớn nhất

b, Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao 1,75m và diện tích đáy là 0,32m2. Hỏi bồn nước này đựng đầy nước được bao nhiêu mét khối (Bỏ qua bề dày của bồn nước)

b,Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d:y=2mx−m2+1 và parabol P:y=x2 a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Giải phương trình: x4−7x2−18=0(1)

b,Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1,x2 thỏa mãn 1x1+1x2=−2x1x2+1

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB< AC nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H a, Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho biểu thức $P = a^{4} + b^{4} - a b$ , với $a, b$ là các số thực thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + a b = 3.$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

b, Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao 1,75m và diện tích đáy là $0,32 m^{2} .$ Hỏi bồn nước này đựng đầy nước được bao nhiêu mét khối (Bỏ qua bề dày của bồn nước)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng $(d) : y = 2 m x - m^{2} + 1$ và parabol $(P) : y = x^{2}$

a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Giải phương trình: $x^{4} - 7 x^{2} - 18 = 0$ (1)

b,Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{- 2}{x_{1} x_{2}} + 1$

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB< AC nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H

a, Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn