Câu hỏi:

13/07/2024 274

Cho biểu thức $P = a^{4} + b^{4} - a b$ , với $a, b$ là các số thực thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + a b = 3.$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1) !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $a^{2} + b^{2} + a b = 3 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = 3 - a b$

Ta thấy ${(a - b)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq 2 a b \Leftrightarrow 3 - a b \geq 2 a b \Leftrightarrow a b \leq 1$

Lại có: ${(a + b)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq - 2 a b \Leftrightarrow 3 - a b \geq - 2 a b \Leftrightarrow 3 \geq - a b \Leftrightarrow a b \geq - 3$

$\Rightarrow - 3 \leq a b \leq 1$

Xét $a^{2} + b^{2} = 3 - a b$ với $- 3 \leq a b \leq 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(a^{2} + b^{2})}^{2} = {(3 - a b)}^{2} \\ \Leftrightarrow a^{4} + b^{4} + 2 a^{2} b^{2} = 9 - 6 a b + a^{2} b^{2} \\ \Leftrightarrow a^{4} + b^{4} = - a^{2} b^{2} - 6 a b + 9 \end{array}$

Khi đó: $P = a^{4} + b^{4} - a b = - a^{2} b^{2} - 6 a b + 9 - a b = - {(a b)}^{2} - 7 a b + 9 = \frac{85}{4} - {(a b + \frac{7}{2})}^{2}$

Vì $- 3 \leq a b \leq 1 \Rightarrow \frac{1}{2} \leq a b + \frac{7}{2} \leq \frac{9}{2} \Leftrightarrow {(a b + \frac{7}{2})}^{2} \leq \frac{81}{4}$

Suy ra $P = \frac{85}{4} - {(a b + \frac{7}{2})}^{2} \geq \frac{85}{4} - \frac{81}{4} = 1 \Leftrightarrow P \geq 1$

Dấu $" = "$ xảy ra khi $a b = 1$ và $a^{2} + b^{2} = 2 \Rightarrow [\begin{array}{l} a = 1, b = 1 \\ a = - 1, b = - 1 \end{array}$

Ta lại có: $P = - {(a b)}^{2} - 7 a b + 9 = (a b + 3) (- a b - 4) + 21$

Mà $- 3 \leq a b \leq 1$ nên $\{\begin{cases} a b + 3 \geq 0 \\ - a b - 4 < 0 \end{cases}$ nên $(a b + 3) (- a b - 4) + 21$

Dấu $" = "$ xảy ra khi $\{\begin{cases} a b = - 3 \\ a^{2} + b^{2} + a b = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a b = - 3 \\ {(a + b)}^{2} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} a = \sqrt{3} \\ b = - \sqrt{3} \end{cases} \\ \{\begin{cases} a = - \sqrt{3} \\ b = \sqrt{3} \end{cases} \end{array}$

Vậy giá trị lớn nhất của P là 21, giá trị nhỏ nhất của P là 1.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

c,Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P = AB đạt giá trị nguyên lớn nhất

Xem đáp án » 12/07/2024 43,291

Câu 2:

b, Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao 1,75m và diện tích đáy là $0,32 m^{2} .$ Hỏi bồn nước này đựng đầy nước được bao nhiêu mét khối (Bỏ qua bề dày của bồn nước)

Xem đáp án » 12/07/2024 14,667

Câu 3:

b,Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF

Xem đáp án » 12/07/2024 8,107

Câu 4:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng $(d) : y = 2 m x - m^{2} + 1$ và parabol $(P) : y = x^{2}$

a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Xem đáp án » 12/07/2024 5,972

Câu 5:

Giải phương trình: $x^{4} - 7 x^{2} - 18 = 0$ (1)

Xem đáp án » 12/07/2024 4,804

Câu 6:

b,Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{- 2}{x_{1} x_{2}} + 1$

Xem đáp án » 12/07/2024 3,205

Câu 7:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB< AC nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H

a, Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn

Xem đáp án » 12/07/2024 2,813

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

Cho biểu thức $P = a^{4} + b^{4} - a b$ , với $a, b$ là các số thực thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + a b = 3.$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

c,Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P = AB đạt giá trị nguyên lớn nhất

b, Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao 1,75m và diện tích đáy là $0,32 m^{2} .$ Hỏi bồn nước này đựng đầy nước được bao nhiêu mét khối (Bỏ qua bề dày của bồn nước)

b,Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng $(d) : y = 2 m x - m^{2} + 1$ và parabol $(P) : y = x^{2}$

a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Giải phương trình: $x^{4} - 7 x^{2} - 18 = 0$ (1)

b,Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{- 2}{x_{1} x_{2}} + 1$

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB< AC nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H

a, Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho biểu thức P=a4+b4−ab , với a,b là các số thực thỏa mãn a2+b2+ab=3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

c,Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P = AB đạt giá trị nguyên lớn nhất

b, Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao 1,75m và diện tích đáy là 0,32m2. Hỏi bồn nước này đựng đầy nước được bao nhiêu mét khối (Bỏ qua bề dày của bồn nước)

b,Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d:y=2mx−m2+1 và parabol P:y=x2 a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Giải phương trình: x4−7x2−18=0(1)

b,Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1,x2 thỏa mãn 1x1+1x2=−2x1x2+1

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB< AC nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H a, Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho biểu thức $P = a^{4} + b^{4} - a b$ , với $a, b$ là các số thực thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + a b = 3.$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

b, Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao 1,75m và diện tích đáy là $0,32 m^{2} .$ Hỏi bồn nước này đựng đầy nước được bao nhiêu mét khối (Bỏ qua bề dày của bồn nước)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng $(d) : y = 2 m x - m^{2} + 1$ và parabol $(P) : y = x^{2}$

a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Giải phương trình: $x^{4} - 7 x^{2} - 18 = 0$ (1)

b,Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{- 2}{x_{1} x_{2}} + 1$

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB< AC nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H

a, Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn