Câu hỏi:

13/07/2024 215

Cho biểu thức $P = a^{4} + b^{4} - a b$ , với $a, b$ là các số thực thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + a b = 3.$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1) !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn lý Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $a^{2} + b^{2} + a b = 3 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = 3 - a b$

Ta thấy ${(a - b)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq 2 a b \Leftrightarrow 3 - a b \geq 2 a b \Leftrightarrow a b \leq 1$

Lại có: ${(a + b)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq - 2 a b \Leftrightarrow 3 - a b \geq - 2 a b \Leftrightarrow 3 \geq - a b \Leftrightarrow a b \geq - 3$

$\Rightarrow - 3 \leq a b \leq 1$

Xét $a^{2} + b^{2} = 3 - a b$ với $- 3 \leq a b \leq 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(a^{2} + b^{2})}^{2} = {(3 - a b)}^{2} \\ \Leftrightarrow a^{4} + b^{4} + 2 a^{2} b^{2} = 9 - 6 a b + a^{2} b^{2} \\ \Leftrightarrow a^{4} + b^{4} = - a^{2} b^{2} - 6 a b + 9 \end{array}$

Khi đó: $P = a^{4} + b^{4} - a b = - a^{2} b^{2} - 6 a b + 9 - a b = - {(a b)}^{2} - 7 a b + 9 = \frac{85}{4} - {(a b + \frac{7}{2})}^{2}$

Vì $- 3 \leq a b \leq 1 \Rightarrow \frac{1}{2} \leq a b + \frac{7}{2} \leq \frac{9}{2} \Leftrightarrow {(a b + \frac{7}{2})}^{2} \leq \frac{81}{4}$

Suy ra $P = \frac{85}{4} - {(a b + \frac{7}{2})}^{2} \geq \frac{85}{4} - \frac{81}{4} = 1 \Leftrightarrow P \geq 1$

Dấu $" = "$ xảy ra khi $a b = 1$ và $a^{2} + b^{2} = 2 \Rightarrow [\begin{array}{l} a = 1, b = 1 \\ a = - 1, b = - 1 \end{array}$

Ta lại có: $P = - {(a b)}^{2} - 7 a b + 9 = (a b + 3) (- a b - 4) + 21$

Mà $- 3 \leq a b \leq 1$ nên $\{\begin{cases} a b + 3 \geq 0 \\ - a b - 4 < 0 \end{cases}$ nên $(a b + 3) (- a b - 4) + 21$

Dấu $" = "$ xảy ra khi $\{\begin{cases} a b = - 3 \\ a^{2} + b^{2} + a b = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a b = - 3 \\ {(a + b)}^{2} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} a = \sqrt{3} \\ b = - \sqrt{3} \end{cases} \\ \{\begin{cases} a = - \sqrt{3} \\ b = \sqrt{3} \end{cases} \end{array}$

Vậy giá trị lớn nhất của P là 21, giá trị nhỏ nhất của P là 1.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

c,Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P = AB đạt giá trị nguyên lớn nhất

Xem đáp án » 12/07/2024 22,176

Câu 2:

b, Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao 1,75m và diện tích đáy là $0,32 m^{2} .$ Hỏi bồn nước này đựng đầy nước được bao nhiêu mét khối (Bỏ qua bề dày của bồn nước)

Xem đáp án » 12/07/2024 7,327

Câu 3:

b,Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF

Xem đáp án » 12/07/2024 5,643

Câu 4:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng $(d) : y = 2 m x - m^{2} + 1$ và parabol $(P) : y = x^{2}$

a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Xem đáp án » 12/07/2024 4,788

Câu 5:

Giải phương trình: $x^{4} - 7 x^{2} - 18 = 0$ (1)

Xem đáp án » 12/07/2024 3,593

Câu 6:

b,Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{- 2}{x_{1} x_{2}} + 1$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,755

Câu 7:

c, Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại điểm I, đường thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P. Chứng minh tam giác APE đồng dạng với tam giác AIB và đường thẳng KH song song với đường thẳng IP

Xem đáp án » 12/07/2024 2,199

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Đăng ký gói thi VIP

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

ĐỀ THI LIÊN QUAN

Trắc nghiệm Toán 9 (Có đáp án): Căn thức bậc hai

2 đề 44,823 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1 (có đáp án): Căn bậc hai

2 đề 12,885 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1)

31 đề 12,303 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 có đáp án (Mới nhất)

41 đề 11,530 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)

31 đề 10,713 lượt thi Thi thử
Bộ 30 đề thi vào 10 môn Toán có lời giải chi tiết

29 đề 10,100 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra 15 phút Toán 9 Chương 1 Đại Số (có đáp án)

7 đề 9,285 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 5: Các bài toán thực tế giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình có đáp án

10 đề 8,519 lượt thi Thi thử
Đề thi Học kì 1 Toán 9 có đáp án năm 2022-2023

31 đề 8,414 lượt thi Thi thử
Đề thi Học kì 2 Toán 9 chọn lọc, có đáp án

17 đề 8,393 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài tập

Cho biểu thức P=a4+b4−ab , với a,b là các số thực thỏa mãn a2+b2+ab=3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Nhà sách VIETJACK:

c,Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P = AB đạt giá trị nguyên lớn nhất

b, Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao 1,75m và diện tích đáy là 0,32m2. Hỏi bồn nước này đựng đầy nước được bao nhiêu mét khối (Bỏ qua bề dày của bồn nước)

b,Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d:y=2mx−m2+1 và parabol P:y=x2 a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Giải phương trình: x4−7x2−18=0(1)

b,Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1,x2 thỏa mãn 1x1+1x2=−2x1x2+1

Bình luận

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho biểu thức $P = a^{4} + b^{4} - a b$ , với $a, b$ là các số thực thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + a b = 3.$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

b, Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao 1,75m và diện tích đáy là $0,32 m^{2} .$ Hỏi bồn nước này đựng đầy nước được bao nhiêu mét khối (Bỏ qua bề dày của bồn nước)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng $(d) : y = 2 m x - m^{2} + 1$ và parabol $(P) : y = x^{2}$

a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Giải phương trình: $x^{4} - 7 x^{2} - 18 = 0$ (1)

b,Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{- 2}{x_{1} x_{2}} + 1$