c) OA cắt BC tại H. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng HB, tia OM cắt AB tại K. Đặt $∠ A O B = α .$ Chứng minh $\cos^{2} α = \frac{K B}{K A}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

c) Gọi N là trung điểm của AH

Kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt BN tại P

Xét $∆ B A H$ và $∆ O B H$ có :

$∠ B H A = ∠ O H B = 90 °; ∠ A B H = ∠ B O H$ (cùng phụ với $∠ O B H)$

$\Rightarrow Δ B A H ∽ Δ O B H (g . g)$

$\Rightarrow \frac{B A}{A H} = \frac{O B}{B H} \Rightarrow \frac{B A}{2 A N} = \frac{O B}{2 B M} \Rightarrow \frac{B A}{A N} = \frac{O B}{B M}$

Xét $∆ B A N$ và $∆ O B M$ có: $\frac{B A}{A N} = \frac{O B}{B M} (c m t), ∠ B A N = ∠ O B M$ (cùng phụ với $∠ B O A)$

$\Rightarrow Δ B A N ∽ Δ O B M (c . g . c) \Rightarrow ∠ A B N = ∠ B O M$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow Δ B A P ∽ Δ O B K (g . g) \Rightarrow \frac{A B}{O B} = \frac{A P}{B K}$ $\Rightarrow B K . A B = A P . O B \Rightarrow \frac{B K}{A B} = \frac{A O . O B}{A B^{2}}$

Vì $A P / / O B \Rightarrow \frac{A P}{O B} = \frac{A N}{N O}$ (định lý Ta-let) $\Rightarrow A P . O B = \frac{A N}{N O} . O B^{2}$

$\Rightarrow \frac{B K}{A B} = \frac{A N . O B^{2}}{N O . A B^{2}}$

Lại có $O B^{2} = O H . O A, A B^{2} = A H . A O$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\Rightarrow \frac{B K}{A B} = \frac{A N . O H}{N O . A H} = \frac{\frac{1}{2} A H . O H}{N O . A H} = \frac{O H}{2 N O}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{A B}{B K} = \frac{2 N O}{O H} \Rightarrow \frac{A B - B K}{B K} = \frac{2 N O - O H}{O H} \\ \Rightarrow \frac{A K}{B K} = \frac{2 (N H + O H) - O H}{O H} = \frac{2 N H + O H}{O H} \\ \Rightarrow \frac{A K}{B K} = \frac{A H + O H}{O H} = \frac{A O}{O H} \Rightarrow \frac{K B}{K A} = \frac{O H}{O A} \end{array}$

Lại có : $\frac{O H}{O A} = \frac{O H . O A}{O A^{2}} = \frac{O B^{2}}{O A^{2}} = \cos^{2} α$

Vậy $\frac{K B}{K A} = \cos^{2} α (d f c m)$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một cốc nước dạng hình trụ có chiều cao là 15 cm bán kính đáy là 3cm và lượng nước ban đầu trong cốc cao 10cm. Thả chìm hoàn toàn vào cốc nước viên bi thủy tinh hình cầu có cùng bán kính là 1cm. Hỏi sau khi thả 5 viên bi, mực nước trong cốc cách miệng cốc một khoảng bằng bao nhiêu ?

(Giả sử độ dài của thành cốc và đáy cốc không đáng kể, kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Xem đáp án

Lời giải

Thể tích của bi là $V_{b i} = 5. \frac{4}{3} . π r_{b i}^{3} = 5. \frac{4}{3} π .1 = \frac{20}{3} π (c m^{3})$

Mặt khác thể tích của bi trắng bằng thể tích của nước dâng lên ta có:

$\frac{20}{3} π = π {.3}^{2} . h \Rightarrow h = \frac{20}{27} (c m)$ (h là chiều cao lượng nước dâng lên)

Chiều cao của nước sau khi thả 5 viên bi vào trong cốc là $10 + \frac{20}{27} = \frac{290}{27} (c m)$

Mực nước cách miệng cốc một khoảng là $15 - \frac{290}{27} = \frac{115}{27} \approx 4,26 (c m)$

Vậy mực nước trong cốc cách miệng cốc là $4,26 c m$

Câu 2

Một phân xưởng theo kế hoạch phải may 1200 bộ quần áo trong một thời gian quy định. Khi thực hiện, do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày phân xưởng may thêm được 10 bộ quần áo và hoàn thành kế hoạch trước 4 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng may bao nhiêu bộ quần áo ?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x là số bộ quần áo phân xưởng may trong một ngày theo kế hoạch $(x \in ℕ *)$

Số bộ quần áo may trong 1 ngày trong thực tế : x + 10 (bộ)

Thời gian may theo kế hoạch là $\frac{1200}{x}$ ngày

Thời gian may thực tế là $\frac{1200}{x + 10}$ (ngày)

Vì phân xưởng hoàn thành kế hoạch trước 4 ngày nên ta có phương trình là :

$\begin{array}{l} \frac{1200}{x} - \frac{1200}{x + 10} = 4 \Leftrightarrow \frac{1200 (x + 10 - x)}{x (x + 10)} = \frac{4 x (x + 10)}{x (x + 10)} \\ \Rightarrow x (x + 10) = 3000 \Leftrightarrow x^{2} + 10 x - 3000 = 0 (1) \end{array}$

Ta có : $Δ' = 5^{2} + 3000 = 3025 = 55^{2} > 0$ nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt :

$[\begin{array}{l} x_{1} = \frac{- 5 + 55}{1} = 50 (t m) \\ x_{2} = \frac{- 5 - 55}{1} = - 60 (k t m) \end{array}$

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng may 50 bộ quần áo .

Câu 3