Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu $u_{n} = {5.2}^{3 n - 2} + 3^{3 n - 1}$

Một học sinh chứng minh u_n luôn chia hết cho 19 như sau:

Bước 1: Khi n=1 ta có $u_{1} = {5.2}^{1} + 3^{2} = 19 \Rightarrow u_{1} ⋮ 19$

Bước 2: Giả sử $u_{k} = {5.2}^{3 k - 2} + 3^{3 k + 1}$ chia hết cho 19 với $k \geq 1$

Khi đó ta có $u_{k + 1} = {5.2}^{3 k + 1} + 3^{3 k + 2} = 8 ({5.2}^{3 k - 2} + 3^{3 k - 1}) + {19.3}^{3 k - 1}$

Bước 3: Vì ${5.2}^{3 k - 2} + 3^{3 k - 1} và {19.3}^{3 k - 1}$ chia hết cho 19 nên $u_{k + 1}$ chia hết cho 19,

Vậy u_n chia hết cho 19, $\forall n \in ℕ^{*}$

Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

A. Sai từ bước 1

B. Sai từ bước 3

C. Sai từ bước 2

D. Lập luận hoàn toàn đúng

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 91 Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học. Dãy số có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn D

Lập luận hoàn toàn đúng.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hai dãy số $(u_{n}), (v_{n})$ được xác định như sau $u_{1} = 3, v_{1} = 2 và \{\begin{cases} u_{n + 1} = u_{n}^{2} + 2 v_{n}^{2} \\ v_{n = 1} = 2 u_{n} . v_{n} \end{cases}$ với $n \geq 2 .$ Công thức tổng quát của hai dãy $(u_{n}) v à (v_{n})$ là

A. $\{\begin{cases} u_{n} = {(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n} \\ v_{n} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .$

B. $\{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \\ v_{n} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .$

C. $\{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \\ v_{n} = \frac{1}{3 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .$

D. $\{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{4} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \\ v_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .$

Lời giải

Chọn B

Chứng minh $u_{n} - \sqrt{2} v_{n} = {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n} (1)$

Ta có $u_{n} = \sqrt{2} v_{n} = u_{n - 1}^{2} + 2 v_{n - 1}^{2} - 2 \sqrt{2} u_{n - 1} v_{n - 1} = {(u_{n - 1} - \sqrt{2} v_{n - 1})}^{2}$

Mặt khác $u_{1} - \sqrt{2} v_{1} = 3 - 2 \sqrt{2} = {(\sqrt{2} - 1)}^{2}$ nên (1) đúng với n=1

Giả sử $u_{k} - \sqrt{2} v_{k} = {(\sqrt{2} - 1)}^{2 k}$ , ta có $u_{k - 1} - \sqrt{2} v_{k + 1} = {(u - \sqrt{2} v_{k})}^{2} = {(\sqrt{2} - 1)}^{2 k + 1}$

Vậy (1) đúng với $\forall n \geq 1$

Ta có $u_{n} + \sqrt{2} v_{n} = {(\sqrt{2} + 1)}^{2^{n}}$

Do đó ta suy ra

\{\begin{cases} 2 u_{n} = {(\sqrt{2} + 1)}^{2^{n}} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2^{n}} \\ 2 \sqrt{2} v_{n} = {(\sqrt{2} + 1)}^{2^{n}} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2^{n}} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2^{n}} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2^{n}}] \\ v_{n} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2^{n}} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2^{n}}] \end{cases}

Câu 2

Với mọi $n \in ℕ^{*},$ khẳng định nào sau đây sai?

A. $1 + 2 + ... + n = \frac{n (n + 1)}{2} .$

B. $1 + 3 + 5 + ... + (2 n - 1) = n^{2} .$

C. $1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2} = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6} .$

D. $2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + ... + {(2 n)}^{2} = \frac{2 n (n + 1) (2 n + 1)}{6} .$

Lời giải

Chọn D

Thử với n=1, n=2, n=3 ta kết luận được đáp án D sai.

Ta có $2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + ... + {(2 n)}^{2} = \frac{2 n (n + 1) (2 n + 1)}{3}$ mới là kết quả đúng.

Câu 3