Cho hai dãy số un, (vn) được xác định như sau u1=3,v1=2 và un+1=un2+2vn2vn=1=2un.vn với n≥2.Công thức tổng quát của hai dãy un và (vn) là A. un=2+12n+2−12nvn=1222+12n−2−12n. B. un=122+12n+2−12nvn=12...

Chọn B Chứng minh un−2vn=2−12n (1) Ta có un=2vn=un−12+2vn−12−22un−1vn−1=un−1−2vn−12 Mặt khác u1−2v1=3−22=2−12 nên (1) đúng với n=1 Giả sử uk−2vk=2−12k, ta có uk−1−2vk+1=u−2vk2=2−12k+1 Vậy (1) đúng với ∀n≥1 Ta có un+2vn=2+12n Do đó ta suy ra 2un=2+12n+2−12n22vn=2+12n−2−12n⇒un=122+12n+2−12nvn=1222+12n−2−12n

Câu hỏi:

19/09/2022 4,584

Cho hai dãy số $(u_{n}), (v_{n})$ được xác định như sau $u_{1} = 3, v_{1} = 2 và \{\begin{cases} u_{n + 1} = u_{n}^{2} + 2 v_{n}^{2} \\ v_{n = 1} = 2 u_{n} . v_{n} \end{cases}$ với $n \geq 2 .$ Công thức tổng quát của hai dãy $(u_{n}) v à (v_{n})$ là

A. $\{\begin{cases} u_{n} = {(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n} \\ v_{n} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .$

B. $\{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \\ v_{n} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .$

C. $\{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \\ v_{n} = \frac{1}{3 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .$

D. $\{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{4} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \\ v_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 91 Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học. Dãy số có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn B

Chứng minh $u_{n} - \sqrt{2} v_{n} = {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n} (1)$

Ta có $u_{n} = \sqrt{2} v_{n} = u_{n - 1}^{2} + 2 v_{n - 1}^{2} - 2 \sqrt{2} u_{n - 1} v_{n - 1} = {(u_{n - 1} - \sqrt{2} v_{n - 1})}^{2}$

Mặt khác $u_{1} - \sqrt{2} v_{1} = 3 - 2 \sqrt{2} = {(\sqrt{2} - 1)}^{2}$ nên (1) đúng với n=1

Giả sử $u_{k} - \sqrt{2} v_{k} = {(\sqrt{2} - 1)}^{2 k}$ , ta có $u_{k - 1} - \sqrt{2} v_{k + 1} = {(u - \sqrt{2} v_{k})}^{2} = {(\sqrt{2} - 1)}^{2 k + 1}$

Vậy (1) đúng với $\forall n \geq 1$

Ta có $u_{n} + \sqrt{2} v_{n} = {(\sqrt{2} + 1)}^{2^{n}}$

Do đó ta suy ra

\{\begin{cases} 2 u_{n} = {(\sqrt{2} + 1)}^{2^{n}} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2^{n}} \\ 2 \sqrt{2} v_{n} = {(\sqrt{2} + 1)}^{2^{n}} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2^{n}} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2^{n}} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2^{n}}] \\ v_{n} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2^{n}} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2^{n}}] \end{cases}

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Với mọi $n \in ℕ^{*},$ khẳng định nào sau đây sai?

A. $1 + 2 + ... + n = \frac{n (n + 1)}{2} .$

B. $1 + 3 + 5 + ... + (2 n - 1) = n^{2} .$

C. $1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2} = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6} .$

D. $2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + ... + {(2 n)}^{2} = \frac{2 n (n + 1) (2 n + 1)}{6} .$

Lời giải

Chọn D

Thử với n=1, n=2, n=3 ta kết luận được đáp án D sai.

Ta có $2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + ... + {(2 n)}^{2} = \frac{2 n (n + 1) (2 n + 1)}{3}$ mới là kết quả đúng.

Câu 2

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có $\frac{1}{1.2.3} + \frac{1}{2.3.4} + ... + \frac{1}{n (n + 1) (n + 2)} = \frac{n (n + 3)}{4 (n + 1) (n + 2)} (1)$

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Câu 3

Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh $(n \geq 4)$ là $\frac{n (n - 3)}{2} .$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho dãy số (u_n) với $\{\begin{cases} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + {(- 1)}^{2 n} \end{cases} .$ Số hạng tổng quát u_n của dãy số là số hạng nào dưới đây?

A. $u_{n} = 1 + n .$

B. $u_{n} = 1 - n .$

C. $u_{n} = 1 + {(- 1)}^{2 n} .$

D. $u_{n} = n .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Chứng minh rằng với mọi $n \in ℕ^{*}, n (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4)$ chia hết cho 120.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Chứng minh rằng mọi n – giác lồi $(n \geq 5)$ đều được chia thành hữu hạn ngũ giác lồi.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho hai dãy số $(u_{n}), (v_{n})$ được xác định như sau $u_{1} = 3, v_{1} = 2 và \{\begin{cases} u_{n + 1} = u_{n}^{2} + 2 v_{n}^{2} \\ v_{n = 1} = 2 u_{n} . v_{n} \end{cases}$ với $n \geq 2 .$ Công thức tổng quát của hai dãy $(u_{n}) v à (v_{n})$ là

Với mọi $n \in ℕ^{*},$ khẳng định nào sau đây sai?

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có $\frac{1}{1.2.3} + \frac{1}{2.3.4} + ... + \frac{1}{n (n + 1) (n + 2)} = \frac{n (n + 3)}{4 (n + 1) (n + 2)} (1)$

Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh $(n \geq 4)$ là $\frac{n (n - 3)}{2} .$

Cho dãy số (u_n) với $\{\begin{cases} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + {(- 1)}^{2 n} \end{cases} .$ Số hạng tổng quát u_n của dãy số là số hạng nào dưới đây?

Chứng minh rằng với mọi $n \in ℕ^{*}, n (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4)$ chia hết cho 120.

Chứng minh rằng mọi n – giác lồi $(n \geq 5)$ đều được chia thành hữu hạn ngũ giác lồi.