Cho hai dãy số un, (vn) được xác định như sau u1=3,v1=2 và un+1=un2+2vn2vn=1=2un.vn với n≥2.Công thức tổng quát của hai dãy un và (vn) là A. un=2+12n+2−12nvn=1222+12n−2−12n. B. un=122+12n+2−12nvn=12...

Chọn B Chứng minh un−2vn=2−12n (1) Ta có un=2vn=un−12+2vn−12−22un−1vn−1=un−1−2vn−12 Mặt khác u1−2v1=3−22=2−12 nên (1) đúng với n=1 Giả sử uk−2vk=2−12k, ta có uk−1−2vk+1=u−2vk2=2−12k+1 Vậy (1) đúng với ∀n≥1 Ta có un+2vn=2+12n Do đó ta suy ra 2un=2+12n+2−12n22vn=2+12n−2−12n⇒un=122+12n+2−12nvn=1222+12n−2−12n

Câu hỏi:

19/09/2022 3,027

Cho hai dãy số $(u_{n}), (v_{n})$ được xác định như sau $u_{1} = 3, v_{1} = 2 và \{\begin{cases} u_{n + 1} = u_{n}^{2} + 2 v_{n}^{2} \\ v_{n = 1} = 2 u_{n} . v_{n} \end{cases}$ với $n \geq 2 .$ Công thức tổng quát của hai dãy $(u_{n}) v à (v_{n})$ là

A. $\{\begin{cases} u_{n} = {(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n} \\ v_{n} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .$

B. $\{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \\ v_{n} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .$

Đáp án chính xác

C. $\{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \\ v_{n} = \frac{1}{3 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .$

D. $\{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{4} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \\ v_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 91 Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học. Dãy số có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn B

Chứng minh $u_{n} - \sqrt{2} v_{n} = {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n} (1)$

Ta có $u_{n} = \sqrt{2} v_{n} = u_{n - 1}^{2} + 2 v_{n - 1}^{2} - 2 \sqrt{2} u_{n - 1} v_{n - 1} = {(u_{n - 1} - \sqrt{2} v_{n - 1})}^{2}$

Mặt khác $u_{1} - \sqrt{2} v_{1} = 3 - 2 \sqrt{2} = {(\sqrt{2} - 1)}^{2}$ nên (1) đúng với n=1

Giả sử $u_{k} - \sqrt{2} v_{k} = {(\sqrt{2} - 1)}^{2 k}$ , ta có $u_{k - 1} - \sqrt{2} v_{k + 1} = {(u - \sqrt{2} v_{k})}^{2} = {(\sqrt{2} - 1)}^{2 k + 1}$

Vậy (1) đúng với $\forall n \geq 1$

Ta có $u_{n} + \sqrt{2} v_{n} = {(\sqrt{2} + 1)}^{2^{n}}$

Do đó ta suy ra

\{\begin{cases} 2 u_{n} = {(\sqrt{2} + 1)}^{2^{n}} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2^{n}} \\ 2 \sqrt{2} v_{n} = {(\sqrt{2} + 1)}^{2^{n}} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2^{n}} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2^{n}} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2^{n}}] \\ v_{n} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2^{n}} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2^{n}}] \end{cases}

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Với mọi $n \in ℕ^{*},$ khẳng định nào sau đây sai?

A. $1 + 2 + ... + n = \frac{n (n + 1)}{2} .$

B. $1 + 3 + 5 + ... + (2 n - 1) = n^{2} .$

C. $1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2} = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6} .$

D. $2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + ... + {(2 n)}^{2} = \frac{2 n (n + 1) (2 n + 1)}{6} .$

Xem đáp án » 19/09/2022 1,381

Câu 2:

Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh $(n \geq 4)$ là $\frac{n (n - 3)}{2} .$

Xem đáp án » 12/07/2024 956

Câu 3:

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có $\frac{1}{1.2.3} + \frac{1}{2.3.4} + ... + \frac{1}{n (n + 1) (n + 2)} = \frac{n (n + 3)}{4 (n + 1) (n + 2)} (1)$

Xem đáp án » 12/07/2024 727

Câu 4:

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n \geq 2$ , ta có ${1.2}^{2} + {2.3}^{3} + {3.4}^{4} + ... + (n - 1) n^{2} = \frac{n (n^{2} - 1) (3 n + 2)}{12} (1)$

Xem đáp án » 12/07/2024 657

Câu 5:

Chứng minh rằng mọi n – giác lồi $(n \geq 5)$ đều được chia thành hữu hạn ngũ giác lồi.

Xem đáp án » 12/07/2024 570

Câu 6:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 2$ , ta luôn có $2^{n + 1} > 2 n + 3 (*)$

Xem đáp án » 12/07/2024 526

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP