Cho hai dãy số un, (vn) được xác định như sau u1=3,v1=2 và un+1=un2+2vn2vn=1=2un.vn với n≥2.Công thức tổng quát của hai dãy un và (vn) là A. un=2+12n+2−12nvn=1222+12n−2−12n. B. un=122+12n+2−12nvn=12...

Chọn B Chứng minh un−2vn=2−12n (1) Ta có un=2vn=un−12+2vn−12−22un−1vn−1=un−1−2vn−12 Mặt khác u1−2v1=3−22=2−12 nên (1) đúng với n=1 Giả sử uk−2vk=2−12k, ta có uk−1−2vk+1=u−2vk2=2−12k+1 Vậy (1) đúng với ∀n≥1 Ta có un+2vn=2+12n Do đó ta suy ra 2un=2+12n+2−12n22vn=2+12n−2−12n⇒un=122+12n+2−12nvn=1222+12n−2−12n

Câu hỏi:

19/09/2022 2,984

Cho hai dãy số $(u_{n}), (v_{n})$ được xác định như sau $u_{1} = 3, v_{1} = 2 và \{\begin{cases} u_{n + 1} = u_{n}^{2} + 2 v_{n}^{2} \\ v_{n = 1} = 2 u_{n} . v_{n} \end{cases}$ với $n \geq 2 .$ Công thức tổng quát của hai dãy $(u_{n}) v à (v_{n})$ là

A. $\{\begin{cases} u_{n} = {(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n} \\ v_{n} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .$

B. $\{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \\ v_{n} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .$

Đáp án chính xác

C. $\{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \\ v_{n} = \frac{1}{3 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .$

D. $\{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{4} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \\ v_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 91 Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học. Dãy số có đáp án !!

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 69k).

20 đề Toán 20 đề Văn Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn B

Chứng minh $u_{n} - \sqrt{2} v_{n} = {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n} (1)$

Ta có $u_{n} = \sqrt{2} v_{n} = u_{n - 1}^{2} + 2 v_{n - 1}^{2} - 2 \sqrt{2} u_{n - 1} v_{n - 1} = {(u_{n - 1} - \sqrt{2} v_{n - 1})}^{2}$

Mặt khác $u_{1} - \sqrt{2} v_{1} = 3 - 2 \sqrt{2} = {(\sqrt{2} - 1)}^{2}$ nên (1) đúng với n=1

Giả sử $u_{k} - \sqrt{2} v_{k} = {(\sqrt{2} - 1)}^{2 k}$ , ta có $u_{k - 1} - \sqrt{2} v_{k + 1} = {(u - \sqrt{2} v_{k})}^{2} = {(\sqrt{2} - 1)}^{2 k + 1}$

Vậy (1) đúng với $\forall n \geq 1$

Ta có $u_{n} + \sqrt{2} v_{n} = {(\sqrt{2} + 1)}^{2^{n}}$

Do đó ta suy ra

\{\begin{cases} 2 u_{n} = {(\sqrt{2} + 1)}^{2^{n}} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2^{n}} \\ 2 \sqrt{2} v_{n} = {(\sqrt{2} + 1)}^{2^{n}} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2^{n}} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2^{n}} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2^{n}}] \\ v_{n} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2^{n}} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2^{n}}] \end{cases}

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Với mọi $n \in ℕ^{*},$ khẳng định nào sau đây sai?

A. $1 + 2 + ... + n = \frac{n (n + 1)}{2} .$

B. $1 + 3 + 5 + ... + (2 n - 1) = n^{2} .$

C. $1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2} = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6} .$

D. $2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + ... + {(2 n)}^{2} = \frac{2 n (n + 1) (2 n + 1)}{6} .$

Xem đáp án » 19/09/2022 1,349

Câu 2:

Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh $(n \geq 4)$ là $\frac{n (n - 3)}{2} .$

Xem đáp án » 12/07/2024 887

Câu 3:

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n \geq 2$ , ta có ${1.2}^{2} + {2.3}^{3} + {3.4}^{4} + ... + (n - 1) n^{2} = \frac{n (n^{2} - 1) (3 n + 2)}{12} (1)$

Xem đáp án » 12/07/2024 638

Câu 4:

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có $\frac{1}{1.2.3} + \frac{1}{2.3.4} + ... + \frac{1}{n (n + 1) (n + 2)} = \frac{n (n + 3)}{4 (n + 1) (n + 2)} (1)$

Xem đáp án » 12/07/2024 636

Câu 5:

Chứng minh rằng mọi n – giác lồi $(n \geq 5)$ đều được chia thành hữu hạn ngũ giác lồi.

Xem đáp án » 12/07/2024 560

Câu 6:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 2$ , ta luôn có $2^{n + 1} > 2 n + 3 (*)$

Xem đáp án » 12/07/2024 519

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP