Cho hàm số $f\left(x\right)$  xác định bởi $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x}\text{ khi }x\ne 0\\ 0\text{ khi }x=0\end{array}\right..$  Giá trị $f^{\text{'}}\left(0\right)$  bằng

Đáp án B

Hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x^2+\left|x+1\right|}{x-1}$  có tập xác định là $D=ℝ\backslash \left\{1\right\}$ .

Ta có $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{2x^2+\left|x+1\right|}{x-1}=-1=f\left(-1\right)$  nên hàm số liên tục tại $x=-1$ .

Ta có $y=f\left(x\right)=\frac{2x^2+\left|x+1\right|}{x-1}=\left\{\begin{array}{l}2x+1\text{ khi }x\le -1\\ \frac{2x^2+x+1}{x-1}\text{ khi }x>-\mathrm{1,}x\ne 1\end{array}\right.$ nên

$\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x-\left(-1\right)}=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{2x+1-\left(-1\right)}{x+1}=2$ và $\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x-\left(-1\right)}=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{\frac{2x^2+x+1}{x-1}-\left(-1\right)}{x+1}=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{2x}{x-1}=1.$

Vậy không tồn tại $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x-\left(-1\right)}$  . Do đó hàm số không có đạo hàm tại $x=-1$ .

Giả sử $\Delta x$  là số gia của đối số x .

Ta có  $\Delta y=f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)=\frac{x+\Delta x}{x+\Delta x-1}-\frac{x}{x-1}=\frac{-\Delta x}{\left(x+\Delta x-1\right)\left(x-1\right)}$

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-\Delta x}{\Delta x.\left(x+\Delta x-1\right)\left(x-1\right)}=\frac{-1}{\left(x+\Delta x-1\right)\left(x-1\right)}$.

$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{-1}{\left(x+\Delta x-1\right)\left(x-1\right)}=\frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2}$

Vậy $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2}$  .