Tìm để hàm số fx=x33 khi x>1ax+b khi x≤1 có đạo hàm tại x=1 .

Điều kiện cần Ta có f1=13;limx→1+fx=limx→1+x33=13 và limx→1−fx=limx→1−ax+b=a+b. Để hàm số fx có đạo hàm tại x=1 thì fx liên tục tại x=1 . Do đó limx→1+fx=limx→1−fx=f1⇔a+b=13. Điều kiện đủ: f'1+=limx→1+fx−f1x−1=limx→1+x33−13x−1=limx→1+x2+x+13=1. f'1−=limx→1−fx−f1x−1=limx→1+fx−f1x−1=limx→1−ax+b−a+bx−1=limx→1+ax−ax−1=a. Để hàm số fx có đạo hàm tại x=1 thì f'1+=f'1−⇔a=1⇒b=−23. Vậy a=1;b=−23 thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Câu hỏi:

13/07/2024 5,237

Tìm để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} khi x > 1 \\ a x + b khi x \leq 1 \end{cases}$ có đạo hàm tại $x = 1$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 61 Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Điều kiện cần

Ta có $f (1) = \frac{1}{3}; \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (\frac{x^{3}}{3}) = \frac{1}{3}$ và $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (a x + b) = a + b .$

Để hàm số $f (x)$ có đạo hàm tại $x = 1$ thì $f (x)$ liên tục tại $x = 1$ .

Do đó $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = f (1) \Leftrightarrow a + b = \frac{1}{3} .$

Điều kiện đủ: $f^{'} (1^{+}) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{2} + x + 1}{3} = 1.$

$f^{'} (1^{-}) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{a x + b - (a + b)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{a x - a}{x - 1} = a .$

Để hàm số $f (x)$ có đạo hàm tại $x = 1$ thì $f^{'} (1^{+}) = f^{'} (1^{-}) \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow b = - \frac{2}{3} .$

Vậy

a = 1; b = - \frac{2}{\begin{array}{l} 3 \end{array}}

thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số $f (x)$ xác định bởi $f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x} khi x \neq 0 \\ 0 khi x = 0 \end{cases} .$ Giá trị $f^{'} (0)$ bằng

A. 0

B. 1.

\frac{1}{2}

D. Không tồn tại.

Lời giải

Đáp án C

Ta có: $f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1} = \frac{1}{2} .$

Câu 2

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{2 x^{2} + |x + 1|}{x - 1}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm tại x=-1.

B. Hàm số f(x) liên tục tại x=-1 nhưng không có đạo hàm tại x=-1 .

C. Hàm số f(x) không liên tục tại x=-1.

D. Hàm số f(x) có tập xác định là R.

Lời giải

Đáp án B

Hàm số $y = f (x) = \frac{2 x^{2} + |x + 1|}{x - 1}$ có tập xác định là $D = ℝ \ \{1\}$ .

Ta có $\lim_{x \to - 1} f (x) = \lim_{x \to - 1} \frac{2 x^{2} + |x + 1|}{x - 1} = - 1 = f (- 1)$ nên hàm số liên tục tại $x = - 1$ .

Ta có $y = f (x) = \frac{2 x^{2} + |x + 1|}{x - 1} = \{\begin{cases} 2 x + 1 khi x \leq - 1 \\ \frac{2 x^{2} + x + 1}{x - 1} khi x > - 1, x \neq 1 \end{cases}$ nên

$\lim_{x \to {(- 1)}^{-}} \frac{f (x) - f (- 1)}{x - (- 1)} = \lim_{x \to {(- 1)}^{-}} \frac{2 x + 1 - (- 1)}{x + 1} = 2$ và $\lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{f (x) - f (- 1)}{x - (- 1)} = \lim_{x \to {(- 1)}^{-}} \frac{\frac{2 x^{2} + x + 1}{x - 1} - (- 1)}{x + 1} = \lim_{x \to {(- 1)}^{-}} \frac{2 x}{x - 1} = 1.$

Vậy không tồn tại $\lim_{x \to - 1} \frac{f (x) - f (- 1)}{x - (- 1)}$ . Do đó hàm số không có đạo hàm tại $x = - 1$ .

Câu 3

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{x}{x - 1}$ trên các khoảng $(- \infty; 1)$ và $(- 1; + \infty)$ ?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Đạo hàm của hàm số $y = x^{2} - x$ tại điểm $x_{0}$ là

f^{'} (x_{0}) = \lim_{Δ x \to 0} [{(Δ x)}^{2} - Δ x] .

B. $f^{'} (x_{0}) = \lim_{Δ x \to 0} [{(Δ x)}^{2} - Δ x - {x_{0}}^{2} + x_{0}] .$

f^{'} (x_{0}) = \lim_{Δ x \to 0} [2 x_{0} Δ x + {(Δ x)}^{2} - Δ x] .

D. .

f^{'} (x_{0}) = \lim_{Δ x \to 0} [Δ x + 2 x_{0} - 1]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = \sin x$ tại $x_{0} = \frac{π}{3} .$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = 2 x^{2} + 3$ tại $x_{0} = 2$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Giáo dục công dân

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học