Tìm để hàm số fx=x33 khi x>1ax+b khi x≤1 có đạo hàm tại x=1 .

Điều kiện cần Ta có f1=13;limx→1+fx=limx→1+x33=13 và limx→1−fx=limx→1−ax+b=a+b. Để hàm số fx có đạo hàm tại x=1 thì fx liên tục tại x=1 . Do đó limx→1+fx=limx→1−fx=f1⇔a+b=13. Điều kiện đủ: f'1+=limx→1+fx−f1x−1=limx→1+x33−13x−1=limx→1+x2+x+13=1. f'1−=limx→1−fx−f1x−1=limx→1+fx−f1x−1=limx→1−ax+b−a+bx−1=limx→1+ax−ax−1=a. Để hàm số fx có đạo hàm tại x=1 thì f'1+=f'1−⇔a=1⇒b=−23. Vậy a=1;b=−23 thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Câu hỏi:

19/09/2022 2,054

Tìm để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} khi x > 1 \\ a x + b khi x \leq 1 \end{cases}$ có đạo hàm tại $x = 1$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Điều kiện cần

Ta có $f (1) = \frac{1}{3}; \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (\frac{x^{3}}{3}) = \frac{1}{3}$ và $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (a x + b) = a + b .$

Để hàm số $f (x)$ có đạo hàm tại $x = 1$ thì $f (x)$ liên tục tại $x = 1$ .

Do đó $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = f (1) \Leftrightarrow a + b = \frac{1}{3} .$

Điều kiện đủ: $f^{'} (1^{+}) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{2} + x + 1}{3} = 1.$

$f^{'} (1^{-}) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{a x + b - (a + b)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{a x - a}{x - 1} = a .$

Để hàm số $f (x)$ có đạo hàm tại $x = 1$ thì $f^{'} (1^{+}) = f^{'} (1^{-}) \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow b = - \frac{2}{3} .$

Vậy

a = 1; b = - \frac{2}{\begin{array}{l} 3 \end{array}}

thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{2 x^{2} + |x + 1|}{x - 1}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm tại x=-1.

B. Hàm số f(x) liên tục tại x=-1 nhưng không có đạo hàm tại x=-1 .

C. Hàm số f(x) không liên tục tại x=-1.

D. Hàm số f(x) có tập xác định là R.

Xem đáp án » 19/09/2022 3,990

Câu 2:

Đạo hàm của hàm số $y = x^{2} - x$ tại điểm $x_{0}$ là

A.

f^{'} (x_{0}) = \lim_{Δ x \to 0} [{(Δ x)}^{2} - Δ x] .

B. $f^{'} (x_{0}) = \lim_{Δ x \to 0} [{(Δ x)}^{2} - Δ x - {x_{0}}^{2} + x_{0}] .$

C.

f^{'} (x_{0}) = \lim_{Δ x \to 0} [2 x_{0} Δ x + {(Δ x)}^{2} - Δ x] .

D. .

f^{'} (x_{0}) = \lim_{Δ x \to 0} [Δ x + 2 x_{0} - 1]

Xem đáp án » 19/09/2022 3,301

Câu 3:

Cho hàm số $y = \{\begin{cases} x^{2} + a x + b khi x \geq 2 \\ x^{3} - x^{2} - 8 x + 10 khi x < 2 \end{cases},$ biết hàm số có đạo hàm tại điểm $x = 2$ .

Giá trị của ab bằng

A. 2.

B. 4.

C. 1.

D. -8.

Xem đáp án » 19/09/2022 2,392

Câu 4:

Giá trị của m để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{4} - 4}{x - 2}, khi x \neq 2 \\ m khi x = 2 \end{cases}$ có đạo hàm tại $x = 2$ bằng

A.

m = 3.

B.

m = 4.

C.

m = 1.

D.

m = 2.

Xem đáp án » 19/09/2022 2,000

Câu 5:

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = \sin x$ tại $x_{0} = \frac{π}{3} .$

Xem đáp án » 19/09/2022 1,959

Câu 6:

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{x}{x - 1}$ trên các khoảng $(- \infty; 1)$ và $(- 1; + \infty)$ ?

Xem đáp án » 19/09/2022 1,950

Xem thêm các câu hỏi khác »

Tìm để hàm số fx=x33 khi x>1ax+b khi x≤1 có đạo hàm tại x=1 .

Cho hàm số y=fx=2x2+x+1x−1 . Khẳng định nào sau đây đúng?

Đạo hàm của hàm số y=x2−x tại điểm x0 là

Cho hàm số y=x2+ax+b khi x≥2x3−x2−8x+10 khi x<2, biết hàm số có đạo hàm tại điểm x=2 . Giá trị của ab bằng

Giá trị của m để hàm số fx=x4−4x−2, khi x≠2m khi x=2 có đạo hàm tại x=2 bằng

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y=sinx tại x0=π3.

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y=xx−1 trên các khoảng −∞;1 và −1;+∞ ?

Bình luận

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Số điện thoại hiện tại của bạn có vẻ không hợp lệ, vui lòng cập nhật số mới để hể thống kiểm tra lại!