Tìm để hàm số fx=x33 khi x>1ax+b khi x≤1 có đạo hàm tại x=1 .

Điều kiện cần Ta có f1=13;limx→1+fx=limx→1+x33=13 và limx→1−fx=limx→1−ax+b=a+b. Để hàm số fx có đạo hàm tại x=1 thì fx liên tục tại x=1 . Do đó limx→1+fx=limx→1−fx=f1⇔a+b=13. Điều kiện đủ: f'1+=limx→1+fx−f1x−1=limx→1+x33−13x−1=limx→1+x2+x+13=1. f'1−=limx→1−fx−f1x−1=limx→1+fx−f1x−1=limx→1−ax+b−a+bx−1=limx→1+ax−ax−1=a. Để hàm số fx có đạo hàm tại x=1 thì f'1+=f'1−⇔a=1⇒b=−23. Vậy a=1;b=−23 thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Câu hỏi:

19/08/2025 6,892

Tìm để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} khi x > 1 \\ a x + b khi x \leq 1 \end{cases}$ có đạo hàm tại $x = 1$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 61 Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Điều kiện cần

Ta có $f (1) = \frac{1}{3}; \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (\frac{x^{3}}{3}) = \frac{1}{3}$ và $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (a x + b) = a + b .$

Để hàm số $f (x)$ có đạo hàm tại $x = 1$ thì $f (x)$ liên tục tại $x = 1$ .

Do đó $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = f (1) \Leftrightarrow a + b = \frac{1}{3} .$

Điều kiện đủ: $f^{'} (1^{+}) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{2} + x + 1}{3} = 1.$

$f^{'} (1^{-}) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{a x + b - (a + b)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{a x - a}{x - 1} = a .$

Để hàm số $f (x)$ có đạo hàm tại $x = 1$ thì $f^{'} (1^{+}) = f^{'} (1^{-}) \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow b = - \frac{2}{3} .$

Vậy

a = 1; b = - \frac{2}{\begin{array}{l} 3 \end{array}}

thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số $f (x)$ xác định bởi $f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x} khi x \neq 0 \\ 0 khi x = 0 \end{cases} .$ Giá trị $f^{'} (0)$ bằng

A. 0

B. 1.

\frac{1}{2}

D. Không tồn tại.

Lời giải

Đáp án C

Ta có: $f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1} = \frac{1}{2} .$

Câu 2

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{x}{x - 1}$ trên các khoảng $(- \infty; 1)$ và $(- 1; + \infty)$ ?

Xem đáp án

Lời giải

Giả sử $Δ x$ là số gia của đối số x .

Ta có $Δ y = f (x + Δ x) - f (x) = \frac{x + Δ x}{x + Δ x - 1} - \frac{x}{x - 1} = \frac{- Δ x}{(x + Δ x - 1) (x - 1)}$

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{- Δ x}{Δ x . (x + Δ x - 1) (x - 1)} = \frac{- 1}{(x + Δ x - 1) (x - 1)}$ .

$\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{- 1}{(x + Δ x - 1) (x - 1)} = \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Vậy $f^{'} (x) = \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

Câu 3

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{2 x^{2} + |x + 1|}{x - 1}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm tại x=-1.

B. Hàm số f(x) liên tục tại x=-1 nhưng không có đạo hàm tại x=-1 .

C. Hàm số f(x) không liên tục tại x=-1.

D. Hàm số f(x) có tập xác định là R.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Giá trị của m để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{4} - 4}{x - 2}, khi x \neq 2 \\ m khi x = 2 \end{cases}$ có đạo hàm tại $x = 2$ bằng

m = 3.

m = 4.

m = 1.

m = 2.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = \sin x$ tại $x_{0} = \frac{π}{3} .$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Đạo hàm của hàm số $y = x^{2} - x$ tại điểm $x_{0}$ là

f^{'} (x_{0}) = \lim_{Δ x \to 0} [{(Δ x)}^{2} - Δ x] .

B. $f^{'} (x_{0}) = \lim_{Δ x \to 0} [{(Δ x)}^{2} - Δ x - {x_{0}}^{2} + x_{0}] .$

f^{'} (x_{0}) = \lim_{Δ x \to 0} [2 x_{0} Δ x + {(Δ x)}^{2} - Δ x] .

D. .

f^{'} (x_{0}) = \lim_{Δ x \to 0} [Δ x + 2 x_{0} - 1]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Tìm để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} khi x > 1 \\ a x + b khi x \leq 1 \end{cases}$ có đạo hàm tại $x = 1$ .

Cho hàm số $f (x)$ xác định bởi $f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x} khi x \neq 0 \\ 0 khi x = 0 \end{cases} .$ Giá trị $f^{'} (0)$ bằng

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{x}{x - 1}$ trên các khoảng $(- \infty; 1)$ và $(- 1; + \infty)$ ?

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{2 x^{2} + |x + 1|}{x - 1}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Giá trị của m để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{4} - 4}{x - 2}, khi x \neq 2 \\ m khi x = 2 \end{cases}$ có đạo hàm tại $x = 2$ bằng

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = \sin x$ tại $x_{0} = \frac{π}{3} .$

Đạo hàm của hàm số $y = x^{2} - x$ tại điểm $x_{0}$ là