Cho hình chóp S.ABCD, gọi M là trung điểm AB, mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ qua M song song với SB và AD, thiết diện của hình chóp cắt bởi $\left(\alpha \right)$ là hình gì?

Đáp án B

$\left(\alpha \right)$ qua G, song song với CD $\Rightarrow \left(\alpha \right)\cap \left(BCD\right)=HI$ (giao tuyến đi qua G và song song CD, $H\in BC,I\in CD$).

Tương tự ta được $\left(\alpha \right)\cap \left(ABD\right)=IJ$ sao cho $IJ\text{ // }AB.$

$\left(\alpha \right)\cap \left(ACD\right)=JN$sao cho $JN\text{ // }CD.$

$\left(\alpha \right)\cap \left(ABC\right)=HN.$

Vậy $\left(\alpha \right)$ là $\left(HNJI\right)$

Vì G là trọng tâm tam giác BCD mà $IG\text{ // }CD$nên $\frac{BG}{BM}=\frac{BI}{BC}=\frac{2}{3}.$

Mặt khác IJ song song AB nên $\frac{BI}{BC}=\frac{AJ}{AD}=\frac{2}{3}.$

Lại có JK song song DM (vì $K\in AM,M\in CD$) nên $\frac{AK}{AM}=\frac{AJ}{AD}=\frac{2}{3}.$

Vậy $AK=\frac{2}{3}AM.$

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD => I là trung điểm của AC và BD.

$\left\{\begin{array}{l}\left(P\right)\text{ // }SA\\ BD\subset \left(P\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left(P\right)\cap \left(SAC\right)=OI.$

Khi đó $OI\text{ // }SA$và I là trung điểm của SC. $\left(P\right)\cap \left(SBC\right)=BI$ và $\left(P\right)\cap \left(SCD\right)=ID.$

Vậy thiết diện là tam giác BDI.