Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi M là trung điểm của BC . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AB và DM

A. $\frac{\sqrt{3}}{6}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 24 Đề kiểm tra Giữa kì 2 Toán 11 có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi M là trung điểm của BC . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AB và DM (ảnh 1)

Gọi N là trung điểm AC $\Rightarrow M N // A B \Rightarrow \{\begin{cases} (\hat{A B, D M}) = (\hat{M N, D M}) \\ M N = \frac{a}{2} \end{cases}$ .

Ta có ABCD là hình chóp đều.

$\Rightarrow \{\begin{cases} D M ⊥ B C \\ D N ⊥ A C \end{cases} \Rightarrow D M = D N = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Ta có $\cos (\hat{A B, D M}) = \cos (\hat{M N, D M}) = |\cos \hat{N M D}| = |\frac{M N^{2} + M D^{2} - N D^{2}}{2. M N . M D}|$

$= |\frac{{(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2}}{2. \frac{a}{2} . \frac{a \sqrt{3}}{2}}| = \frac{\sqrt{3}}{6}$ .

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính tích vô hướng $\vec{A B} . \vec{A C}$ theo .

A. $\frac{1}{2} a^{2}$

B. $A^{2}$

C. $- a^{2}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{2} a^{2}$

Lời giải

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính tích vô hướng vectơ AB , AC theo . (ảnh 1)

Tứ diện ABCD là tứ diện đều cạnh a nên suy ra tam giác ABC đều cạnh a.

Do đó $\vec{A B} . \vec{A C} = |\vec{A B}| . |\vec{A C}| . \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = A B . A C . \cos \hat{B A C} = a . a . \cos 60 ° = \frac{1}{2} a^{2} .$

Câu 2

Cho a,b là các số nguyên và $\lim_{x \to 1} \frac{a x^{2} + b x - 5}{x - 1} = 20$ . Tính $P = a^{2} + b^{2} - a - b$

A. 400

B. 225

C. 325

D. 320

Lời giải

Ta có : $\lim_{x \to 1} \frac{a x^{2} + b x - 5}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{a (x^{2} - 1) + b (x - 1) + a + b - 5}{x - 1}$

= $\lim_{x \to 1} [a (x + 1) + b] + \lim_{x \to 1} \frac{a + b - 5}{x - 1}$

= $2 a + b + \lim_{x \to 1} \frac{a + b - 5}{x - 1}$ .

Suy ra $\lim_{x \to 1} \frac{a x^{2} + b x - 5}{x - 1} = 20$ $\Rightarrow$ $\{\begin{cases} 2 a + b = 20 \\ a + b - 5 = 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 15 \\ b = - 10 \end{cases}$ .