Cho hàm số y=2x−x2. Chứng minh y3.y''+1=0.

Ta có: y'=2x−x2'⇔y'=122x−x2.2x−x2'=1−x2x−x2. y''=1−x'.2x−x2−2x−x2'.1−x2x−x22 =−2x−x2−1−x2x−x2.1−x2x−x22 =−2x−x2−1−x22x−x2.2x−x22=−12x−x23. Ta có y3.y''+1=0⇔2x−x23.−12x−x23+1=0⇔−1+1=0 (điều phải chứng minh).

Câu hỏi:

25/09/2022 4,799

Cho hàm số $y = \sqrt{2 x - x^{2}}$ . Chứng minh $y^{3} . {y^{'}}^{'} + 1 = 0$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 3: Vi phân- đạo hàm cấp cao có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $y^{'} = {(\sqrt{2 x - x^{2}})}^{'} \Leftrightarrow y' = \frac{1}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}} . {(2 x - x^{2})}^{'} = \frac{1 - x}{\sqrt{2 x - x^{2}}}$ .

${y^{'}}^{'} = \frac{{(1 - x)}^{'} . \sqrt{2 x - x^{2}} - {(\sqrt{2 x - x^{2}})}^{'} . (1 - x)}{{(\sqrt{2 x - x^{2}})}^{2}}$

$= \frac{- \sqrt{2 x - x^{2}} - \frac{1 - x}{\sqrt{2 x - x^{2}}} . (1 - x)}{{(\sqrt{2 x - x^{2}})}^{2}}$

$= \frac{- (2 x - x^{2}) - {(1 - x)}^{2}}{\sqrt{2 x - x^{2}} . {(\sqrt{2 x - x^{2}})}^{2}} = \frac{- 1}{{(\sqrt{2 x - x^{2}})}^{3}}$ .

Ta có $y^{3} . {y^{'}}^{'} + 1 = 0 \Leftrightarrow {(\sqrt{2 x - x^{2}})}^{3} . \frac{- 1}{{(\sqrt{2 x - x^{2}})}^{3}} + 1 = 0 \Leftrightarrow - 1 + 1 = 0$

(điều phải chứng minh).

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \frac{3 x + 1}{x + 2}$ là

A.

{y^{'}}^{'} = \frac{10}{{(x + 2)}^{2}}

.

B.

{y^{'}}^{'} = - \frac{5}{{(x + 2)}^{4}}

.

C.

{y^{'}}^{'} = - \frac{5}{{(x + 2)}^{3}}

.

D.

{y^{'}}^{'} = - \frac{10}{{(x + 2)}^{3}}

.

Xem đáp án » 25/09/2022 6,207

Câu 2:

Cho hàm số $f (x) = {(3 x^{2} - 2 x - 1)}^{9}$ . Tính đạo hàm cấp 6 của hàm số tại điểm x=0.

A.

f^{(6)} (0) = - 60480

B.

f^{(6)} (0) = - 34560

C.

f^{(6)} (0) = 60480

D.

f^{(6)} (0) = 34560

Xem đáp án » 26/09/2022 2,037

Câu 3:

Cho $f (x) = x^{4} - \cos 2 x$ . Tìm $f^{4} (x)$ .

A.

f^{4} (x) = 24 x - 16 \cos 2 x

.

B.

f^{4} (x) = 16 \cos 2 x

.

C.

f^{4} (x) = 24 x - 8 \sin 2 x

.

D.

f^{4} (x) = 24 - 16 \cos 2 x

.

Xem đáp án » 25/09/2022 1,156

Câu 4:

Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \cos^{2} x$ là

A.

{y^{'}}^{'} = - 2 \cos 2 x

.

B.

{y^{'}}^{'} = - 2 \sin 2 x

.

C.

{y^{'}}^{'} = 2 \cos 2 x

.

D.

{y^{'}}^{'} = 2 \sin 2 x

.

Xem đáp án » 25/09/2022 1,133

Câu 5:

Cho hàm số $y = \frac{\sin^{3} x + \cos^{3} x}{1 - \sin x . \cos x}$ . Chứng minh ${y^{'}}^{'} + y = 0$ .

Xem đáp án » 25/09/2022 1,133

Câu 6:

Cho hàm số y=f(x)=sinx . Khẳng định nào sau đây sai?

A.

y^{'} = \sin (x + \frac{π}{2})

.

B.

{y^{'}}^{'} = \sin (x + π)

.

C.

{y^{'}}^{'}^{'} = \sin (x + \frac{3 π}{2})

.

D.

y^{(4)} = \sin (2 π - x)

Xem đáp án » 25/09/2022 994

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số y=2x−x2. Chứng minh y3.y''+1=0.

Đạo hàm cấp hai của hàm số y=3x+1x+2 là

Cho hàm số fx=3x2−2x−19 . Tính đạo hàm cấp 6 của hàm số tại điểm x=0.

Cho fx=x4−cos2x. Tìm f4x.

Đạo hàm cấp hai của hàm số y=cos2x là

Cho hàm số y=sin3x+cos3x1−sinx.cosx . Chứng minh y''+y=0.

Cho hàm số y=f(x)=sinx . Khẳng định nào sau đây sai?

Bình luận

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Số điện thoại hiện tại của bạn có vẻ không hợp lệ, vui lòng cập nhật số mới để hể thống kiểm tra lại!