Cho hàm số fx=3x2−2x−19 . Tính đạo hàm cấp 6 của hàm số tại điểm x=0. A. f60=−60480 B. f60=−34560 C. f60=60480 D. f60=34560

Đáp án A Giả sử fx=a0+a1x+a2x2+...+a18x18. Khi đó f6x=6!.a6+b7x+b8x2+...+b18x12⇒f60=720a6. Ta có 3x2−2x−19=−1+2x−3x29=−∑k=09C9k2x−3x2k =−∑k=09C9k∑i=0kCki2xk−i−3x2i=−∑k=09∑i=0kC9kCki2k−i−3ixk+i Số hạng chứa x6 ứng với k,i thỏa mãn 0≤i≤k≤9k+i=6⇒k;i∈6;0,5;1,4;2,3;3 ⇒a6=−C96C6026−30+C95C5124−3+C94C4222−32+C93C3320−33=−84⇒f60=720.−64=−60480.

Câu hỏi:

26/09/2022 3,793

Cho hàm số $f (x) = {(3 x^{2} - 2 x - 1)}^{9}$ . Tính đạo hàm cấp 6 của hàm số tại điểm x=0.

f^{(6)} (0) = - 60480

f^{(6)} (0) = - 34560

f^{(6)} (0) = 60480

f^{(6)} (0) = 34560

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 54 Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 3: Vi phân- đạo hàm cấp cao có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A

Giả sử $f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{18} x^{18}$ .

Khi đó $f^{(6)} (x) = 6! . a_{6} + b_{7} x + b_{8} x^{2} + ... + b_{18} x^{12} \Rightarrow f^{(6)} (0) = 720 a_{6}$ .

Ta có ${(3 x^{2} - 2 x - 1)}^{9} = - {(1 + 2 x - 3 x^{2})}^{9} = - \sum_{k = 0}^{9} C_{9}^{k} {(2 x - 3 x^{2})}^{k}$

$= - \sum_{k = 0}^{9} C_{9}^{k} \sum_{i = 0}^{k} C_{k}^{i} {(2 x)}^{k - i} {(- 3 x^{2})}^{i} = - \sum_{k = 0}^{9} \sum_{i = 0}^{k} C_{9}^{k} C_{k}^{i} 2^{k - i} {(- 3)}^{i} x^{k + i}$

Số hạng chứa $x^{6}$ ứng với $k, i$ thỏa mãn $\{\begin{cases} 0 \leq i \leq k \leq 9 \\ k + i = 6 \end{cases} \Rightarrow (k; i) \in \{(6; 0), (5; 1), (4; 2), (3; 3)\}$

\begin{array}{l} \Rightarrow a_{6} = - [C_{9}^{6} C_{6}^{0} 2^{6} {(- 3)}^{0} + C_{9}^{5} C_{5}^{1} 2^{4} (- 3) + C_{9}^{4} C_{4}^{2} 2^{2} {(- 3)}^{2} + C_{9}^{3} C_{3}^{3} 2^{0} {(- 3)}^{3}] = - 84 \\ \Rightarrow f^{(6)} (0) = 720. (- 64) = - 60480. \end{array}

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \frac{3 x + 1}{x + 2}$ là

{y^{'}}^{'} = \frac{10}{{(x + 2)}^{2}}

{y^{'}}^{'} = - \frac{5}{{(x + 2)}^{4}}

{y^{'}}^{'} = - \frac{5}{{(x + 2)}^{3}}

{y^{'}}^{'} = - \frac{10}{{(x + 2)}^{3}}

Lời giải

Đáp án D

$y = 3 - \frac{5}{x + 2} \Rightarrow y^{'} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} \Rightarrow {y^{'}}^{'} = - \frac{10}{{(x + 2)}^{3}}$

Câu 2

Cho hàm số $y = \sqrt{2 x - x^{2}}$ . Chứng minh $y^{3} . {y^{'}}^{'} + 1 = 0$ .

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $y^{'} = {(\sqrt{2 x - x^{2}})}^{'} \Leftrightarrow y' = \frac{1}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}} . {(2 x - x^{2})}^{'} = \frac{1 - x}{\sqrt{2 x - x^{2}}}$ .

${y^{'}}^{'} = \frac{{(1 - x)}^{'} . \sqrt{2 x - x^{2}} - {(\sqrt{2 x - x^{2}})}^{'} . (1 - x)}{{(\sqrt{2 x - x^{2}})}^{2}}$

$= \frac{- \sqrt{2 x - x^{2}} - \frac{1 - x}{\sqrt{2 x - x^{2}}} . (1 - x)}{{(\sqrt{2 x - x^{2}})}^{2}}$

$= \frac{- (2 x - x^{2}) - {(1 - x)}^{2}}{\sqrt{2 x - x^{2}} . {(\sqrt{2 x - x^{2}})}^{2}} = \frac{- 1}{{(\sqrt{2 x - x^{2}})}^{3}}$ .

Ta có $y^{3} . {y^{'}}^{'} + 1 = 0 \Leftrightarrow {(\sqrt{2 x - x^{2}})}^{3} . \frac{- 1}{{(\sqrt{2 x - x^{2}})}^{3}} + 1 = 0 \Leftrightarrow - 1 + 1 = 0$