Câu hỏi:

28/09/2022 419

c) Gọi O là giao điểm của PA và HK.

Chứng minh $O A^{2} + O P^{2} + O H^{2} + O K^{2} = P A^{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập chuyên đề Toán 7 Dạng 7: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

c) $Δ A O H$ và $Δ A O K$ có $A H = A K, \hat{O A H} = \hat{O A K}, A O$ là cạnh chung

$\Rightarrow Δ A O H = Δ A O K$ , suy ra $\hat{A O H} = \hat{A O K}$ , mà hai góc này kề bù nên

$\hat{A O H} = \hat{A O K} = 90 ° \Rightarrow P A ⊥ H K$ tại O.

Áp dụng định lý Py-ta-go vào các tam giác vuông tại O là OAH, OAK, OPH, OPK ta có:

$O A^{2} + O H^{2} = A H^{2}; O A^{2} + O K^{2} = A K^{2}$

$O P^{2} + O H^{2} = P H^{2}; O P^{2} + O K^{2} = P K^{2}$

$\Rightarrow 2 (O A^{2} + O P^{2} + O H^{2} + O K^{2}) = 2 (A H^{2} + P H^{2})$ (vì $A H = A K$ và $P H = P K$ )

$\Rightarrow O A^{2} + O P^{2} + O H^{2} + O K^{2} = A H^{2} + P H^{2}$

Mà tam giác PAH vuông tại H $\Rightarrow A H^{2} + P H^{2} = P A^{2}$ (định lý Py-ta-go)

$\Rightarrow O A^{2} + O P^{2} + O H^{2} + O K^{2} = P A^{2}$

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC vuông cân đáy BC. Gọi M, N là trung điểm của AB, AC. Kẻ $N H ⊥ C M$ tại H, kẻ $H E ⊥ A B$ tại E. Chứng minh rằng:

a) Tam giác ABH cân

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông cân đáy BC. Gọi M, N là trung điểm của AB, AC. (ảnh 1)

Từ A kẻ $A K ⊥ M C$ tại K và $A Q ⊥ H N$ tại Q.

Hai tam giác vuông MAK và NCH có

$M A = N C (= \frac{1}{2} A B), \hat{A_{1}} = \hat{C_{1}}$ (cùng phụ với góc AMC)

$\Rightarrow Δ M A K = Δ N C H \Rightarrow A K = H C$ (1)

$Δ B A K$ và $Δ A C H$ có AK = CH, $\hat{A_{1}} = \hat{C_{1}}$ , AB = CA

$\Rightarrow Δ B A K = Δ A C H (c . g . c) \Rightarrow \hat{B K A} = \hat{A H C}$

$Δ A Q N$ và $Δ C H N$ có AN = NC,

$\hat{A N Q} = \hat{C N H} \Rightarrow Δ A N Q = Δ C N H (c h - g n) \Rightarrow A Q = C H$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra: AK = AQ.

$Δ A K H$ và $Δ A Q H$ có $\hat{A K H} = \hat{A Q H} = 90 °, A K = A Q, A H$ chung

$\Rightarrow Δ A K H = Δ A Q H (c h - c g v) \hat{K H A} = \hat{Q H A} \Rightarrow H A$ là tia phân giác của góc KHQ

$\Rightarrow \hat{A H Q} = 45 ° \Rightarrow \hat{A H C} = 135 ° \Rightarrow \hat{B K A} = 135 °$

Từ $\hat{B K A} + \hat{B K H} + \hat{A K H} = 360 ° \Rightarrow \hat{B K H} = 135 °$

Tam giác AKH có $\hat{K H A} = 45 °$ nên nó vuông cân tại K suy ra KA = KH.

$\Rightarrow Δ B K A = Δ B K H (c . g . c) \Rightarrow B A = B H$ hay $Δ A B H$ cân tại B.

Câu 2

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD= BA . Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E.

a) Chứng minh rằng: $A E = D E$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD=BA . Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E. (ảnh 1)

$Δ A B E$ và $Δ D B E$ có:

$\hat{A} = \hat{D} = 90 °$ (Vì $A E ⊥ A B, A D ⊥ B C$ )

AB=AD (giả thiết), BE: cạnh chung

Vậy $Δ A B E = Δ D B E$ (ch-cgv)

$\Rightarrow A E = D E$ .

Câu 3