Tìm x, y, z biết : \[\frac{x}{3} = \frac{y}{4},\frac{y}{3} = \frac{z}{5}\] và \[2x - 3y + z = 6\]

Giải

Tìm cách giải. Từ hai tỉ lệ thức của giả thiết ,ta cần nối lại tạo thành dãy tỉ số bằng nhau. Quan sát hai tỉ lệ thức ta thấy chúng có chung y vì vậy khi nối cần tạo thành phần chứa y giống nhau. Sau đó vẫn ý tưởng như ví dụ trên, chúng ta có 3 cách giải.

• Cách 1. Đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ. Biểu thị x, y, z theo hệ số tỉ lệ k.
• Cách 2. Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
• Cách 3. Biểu diễn x, y theo z từ dãy tỉ số bằng nhau.

ü  Trình bày lời giải

+ Cách 1. Từ giả thiết : \[\frac{x}{3} = \frac{y}{4} \Rightarrow \frac{x}{9} = \frac{y}{{12}}\left( 1 \right)\]

\[\frac{y}{3} = \frac{z}{5} \Rightarrow \frac{y}{{12}} = \frac{z}{{20}}\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) , suy ra : \[\frac{x}{9} = \frac{y}{{12}} = \frac{z}{{20}}\left( * \right)\]

Ta đặt \[\frac{x}{9} = \frac{y}{{12}} = \frac{z}{{20}} = k\] suy ra \[x = 9k;y = 12k;z = 20k\]

Theo giả thiết : \[2x - 3y + z = 6 \Rightarrow 18k - 26k + 20k = 6 \Rightarrow 2k = 6 \Rightarrow k = 3\]

Do đó: \[x = 27,y = 36,z = 60\].

+ Cách 2. Chúng ta biến đổi giả thiết như cách 1 đến (*)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

\[\frac{x}{9} = \frac{y}{{12}} = \frac{z}{{20}} = \frac{{2x}}{{18}} = \frac{{3y}}{{36}} = \frac{z}{{20}} = \frac{{2x - 3y + z}}{{18 - 36 + 20}} = \frac{6}{2} = 3\]

Do đó: \[\frac{x}{9} = 3 \Rightarrow x = 27\]

            \[\frac{y}{{12}} = 3 \Rightarrow y = 36\]

            \[\frac{z}{{20}} = 3 \Rightarrow z = 60\]

Kết luận : \[x = 27,y = 36,z = 60\].

+ Cách 3. (phương pháp thế : ta tính x, y theo z)

Từ giả thiết : \[\frac{y}{3} = \frac{z}{5} \Rightarrow y = \frac{{3z}}{5};\frac{x}{3} = \frac{y}{4} \Rightarrow x = \frac{{3y}}{4} = \frac{{3.\frac{{3z}}{5}}}{4} = \frac{{9z}}{{20}}\]

Mà \[2x - 3y + z = 6 \Rightarrow 2.\frac{{9z}}{{20}} - 3.\frac{{3z}}{5} + z = 6 \Rightarrow \frac{z}{{10}} = 60 \Rightarrow z = 60\]

Suy ra : \[y = \frac{{3.60}}{5} = 36,x = \frac{{9.60}}{{20}} = 27\]

Kết luận : \[x = 27,y = 36,z = 60\]