Chứng minh rằng : Nếu \[2\left( {x + y} \right) = 5\left( {y + z} \right) = 3\left( {z + x} \right)\] thì \[\frac{{x - y}}{4} = \frac{{y - z}}{5}\]

Hướng dẫn:

Từ \[2\left( {x + y} \right) = 5\left( {y + z} \right) = 3\left( {z + x} \right)\]suy ra :

\[\frac{{2\left( {x + y} \right)}}{{30}} = \frac{{5\left( {y + z} \right)}}{{30}} = \frac{{3\left( {z + x} \right)}}{{30}} \Rightarrow \frac{{x + y}}{{15}} = \frac{{x + z}}{6} = \frac{{z + x}}{{10}}\]

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

\[\frac{{x + y}}{{15}} = \frac{{y + z}}{6} = \frac{{z + x}}{{10}} = \frac{{\left( {x + y} \right) - \left( {z + x} \right)}}{{15 - 10}} = \frac{{y - z}}{5}\left( 1 \right)\]

\[\frac{{x + y}}{{15}} = \frac{{y + z}}{6} = \frac{{z + x}}{{10}} = \frac{{\left( {z + x} \right) - \left( {y + z} \right)}}{{10 - 6}} = \frac{{x - y}}{4}\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) , suy ra : \[\frac{{x - y}}{4} = \frac{{y - z}}{5}\], điều phải chứng minh.