Với a, b, c, x, y, z khác 0 , biết \[\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{cx - az}}{b} = \frac{{ay - bx}}{c}\]

Chứng minh rằng : \[\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}\]

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập chuyên đề Toán 7 Dạng 2: Tỉ lệ thức. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giải

Tìm cách giải. Quan sát phần kết luận ta cần biến đổi đưa về : \[ay = bx,bz = cy,az = cx\] hay cần chứng minh \[ay - bx = 0,bz - cy = 0,az - cx = 0\]. Vì vậy từ giả thiết ta cần chứng minh\[\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{cx - az}}{b} = \frac{{ay - bx}}{c} = 0\]. Với suy nghĩ đó , chúng ta cần nhân mỗi tỉ số với một số thích hợp vào tử và mẫu số sao cho khi vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau thì được kết quả bằng 0. Quan sát tỉ số \[\frac{{bz - cy}}{a}\] và \[\frac{{cx - az}}{b}\] ta thấy bz và \[ - az\]; để triệt tiêu được, chúng ta cần nhân cả tử và mẫu của tỉ số thứ nhất với a; nhân cả tử và mẫu của tỉ số thứ hai với b. Tương tự như vậy với tỉ số thứ ba.

Trình bày lời giải

Từ đề bài ta có : \[\frac{{abz - acy}}{{{a^2}}} = \frac{{bcx - abz}}{{{b^2}}} = \frac{{acy - bcx}}{{{c^2}}}\]

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

\[\frac{{abz - acy}}{{{a^2}}} = \frac{{bcx - abz}}{{{b^2}}} = \frac{{acy - bcx}}{{{c^2}}} = \frac{{abz - acy + bcx - abz + acy - bcx}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = 0\]

Suy ra \[ay - bx = 0,bz - cy = 0,bz - cx = 0\]

\[ \Rightarrow ay = bx,bz = cy,bz = cx \Rightarrow \frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}\]

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm x, y biết :

\[\frac{{1 + 3y}}{{12}} = \frac{{1 + 5y}}{{5x}} = \frac{{1 + 7y}}{{4x}}\]

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn:

Ta có : \[\frac{{1 + 3y}}{{12}} = \frac{{1 + 5y}}{{5x}} = \frac{{1 + 7y}}{{4x}} = \frac{{4 + 20y}}{{20x}} = \frac{{5 + 35y}}{{20x}} = \]

\[ = \frac{{1 + 3y + 4 + 20y - 5 - 35y}}{{12 + 20x - 20x}} = \frac{{ - 12y}}{{12}} = - y\]

\[ \Rightarrow 1 + 3y = - 12y \Rightarrow y = - \frac{1}{{15}}\]

Thay vào đề bài ,ta được : \[\frac{{1 + 5.\frac{{ - 1}}{{15}}}}{{5x}} = \frac{1}{{15}} \Rightarrow x = 2\]

Vậy \[x = 2\] và \[y = - \frac{1}{{15}}\]

Câu 2

Tìm hai số x và y biết \[\frac{x}{2} = \frac{y}{3}\] và \[xy = 24\]

Xem đáp án

Lời giải

Giải

Đặt \[\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = k\] suy ra : \[x = 2k,y = 3k\]

Theo giả thiết : \[xy = 24 \Rightarrow 2k.3k = 24 \Rightarrow {k^2} = 4 \Rightarrow k = \pm 2\]

+ Với \[k = 2\]thì \[x = 4;y = 6\]

+ Với \[k = - 2\] thì \[x = - 4;y = - 6\]

Kết luận. Vậy \[\left( {x;y} \right)\] là \[\left( { - 4; - 6} \right),\left( {4;6} \right)\].

Nhận xét. Trong ví dụ này có thể chúng ta mắc sai lầm sau :

+ Thứ nhất trong lời giải trên thiếu trường hợp \[k = - 2\]

+ Thứ hai chúng ta vận dụng tính chất : \[\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{xy}}{{2.3}} = \frac{{24}}{6} = 4!\] Chúng ta lưu ý rằng tính chất dãy tỉ số bằng nhau không cho phép nhân (hoặc chia) tử thức với nhau. Do vậy gặp điều kiện về phép nhân hoặc lũy thừa giữa các biến, chúng ta nên đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ

Câu 3