Độ dài các cạnh của một tam giác tỉ lệ với nhau như thế nào, biết nếu cộng lần lượt từng độ dài hai đường cao của tam giác đó thì các tổng này tỉ lệ với 7; 6 ; 5.

Giải

Đặt độ dài ba cạnh tam giác là a, b, c.  Độ dài ba đường cao tương ứng là \[{h_a};{h_b};{h_c}\]. Theo đề bài ta có : \[\frac{{{h_a} + {h_b}}}{7} = \frac{{{h_b} + {h_c}}}{6} = \frac{{{h_c} + {h_a}}}{5}\] và \[a{h_a} = b{h_b} = c{h_c}\left( 1 \right)\]

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

\[\frac{{{h_a} + {h_b}}}{7} = \frac{{{h_b} + {h_c}}}{6} = \frac{{{h_c} + {h_a}}}{5} = \frac{{{h_a} + {h_b} - {h_b} - {h_c}}}{{7 - 6}} = {h_a} - {h_c}\]

\[ \Rightarrow {h_c} + {h_a} = 5{h_a} - 5{h_c} \Rightarrow 2{h_a} = 3{h_c} \Rightarrow \frac{{{h_a}}}{3} = \frac{{{h_c}}}{2}\left( 2 \right)\]

Mặt khác \[\frac{{{h_a} + {h_b}}}{7} = \frac{{{h_b} + {h_c}}}{6} \Rightarrow \frac{{2{h_a} + 2{h_b}}}{{14}} = \frac{{{h_b} + {h_c}}}{6} \Rightarrow \frac{{3{h_c} + 2{h_b}}}{{14}} = \frac{{{h_b} + {h_c}}}{6}\]

\[ \Rightarrow 3\left( {3{h_c} + 2{h_b}} \right) = 7\left( {{h_b} + {h_c}} \right) \Rightarrow 9{h_c} + 6{h_b} = 7{h_b} + 7{h_c} \Rightarrow 2{h_c} = {h_b} \Rightarrow \frac{{{h_c}}}{2} = \frac{{{h_b}}}{4}\left( 3 \right)\]

Từ (2),(3) suy ra : \[\frac{{{h_a}}}{3} = \frac{{{h_b}}}{4} = \frac{{{h_c}}}{2}\]

Đặt \[\frac{{{h_a}}}{3} = \frac{{{h_b}}}{4} = \frac{{{h_c}}}{2} = k\left( {k > 0} \right) \Rightarrow {h_a} = 3k;{h_b} = 4k;{h_c} = 2k\]

Kết hợp với (1), ta có : \[3a = 4b = 2c \Rightarrow \frac{a}{4} = \frac{b}{3} = \frac{c}{6}\]

Vậy độ dài ba cạnh tỉ lệ với 4; 3; 6.