Cho \[\frac{x}{{y + z + t}} = \frac{y}{{z + t + x}} = \frac{z}{{t + x + y}} = \frac{t}{{x + y + z}}\]. Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên \[A = \frac{{x + y}}{{z + t}} + \frac{{y + z}}{{t + x}} + \frac{{z + t}}{{x + y}} + \frac{{t + x}}{{y + z}}\]

Hướng dẫn:

Từ \[\frac{x}{{y + z + t}} = \frac{y}{{z + t + x}} = \frac{z}{{t + x + y}} = \frac{t}{{x + y + z}}\]

\[ \Rightarrow \frac{x}{{y + z + t}} + 1 = \frac{y}{{z + t + x}} + 1 = \frac{z}{{t + x + y}} + 1 = \frac{t}{{x + y + z}} + 1\]

\[\frac{{x + y + z + t}}{{y + z + t}} = \frac{{x + y + z + t}}{{z + t + x}} = \frac{{x + y + z + t}}{{t + x + y}} = \frac{{x + y + z + t}}{{x + y + z}}\]

Trường hợp 1: Xét \[x + y + z + t = 0\]

\[ \Rightarrow x + y = - \left( {z + t} \right);y + z = - \left( {t + x} \right)\]

Suy ra \[A = \frac{{ - (z + t)}}{{z + t}} + \frac{{ - (t + x)}}{{t + x}} + \frac{{z + t}}{{ - (z + t)}} + \frac{{t + x}}{{ - (t + x)}}\]

\[A = \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) = - 4\]

Trường hợp 2: Xét \[x + y + z + t \ne 0\]

Suy ra \[y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z \Rightarrow x = y = z = t\]

Suy ra \[A = \frac{{x + x}}{{x + x}} + \frac{{x + x}}{{x + x}} + \frac{{x + x}}{{x + x}} + \frac{{x + x}}{{x + x}} = 1 + 1 + 1 + 1 = 4\]

Vậy biểu thức A luôn có giá trị là số nguyên