Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng a đi qua A. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng a. Chứng minh:

a) $\widehat{ABM}=\widehat{CAN}$ ;

Kẻ DH ⊥ BC.

Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên ${\widehat{B}}_1={\widehat{B}}_2$ .

Xét DDAB và DDHB có:

$\widehat{BAD}=\widehat{BHD}\left(=90°\right)$,

BD là cạnh chung,

${\widehat{B}}_1={\widehat{B}}_2$ (chứng minh trên)

Do đó ∆DAB = ∆DHB (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AD = HD (hai cạnh tương ứng)  (1)

Vì DDHC vuông tại H nên HD < DC (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất)         (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD < DC.

Vậy AD < DC.

a) Vì DABD vuông tại A nên ${\widehat{B}}_1+{\widehat{D}}_1=90°$  (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90 )

Mà ${\widehat{B}}_1={\widehat{B}}_2$  (do BD là tia phân giác của góc ABC) và ${\widehat{D}}_1={\widehat{D}}_2$  (hai góc đối đỉnh).

Nên ${\widehat{B}}_2+{\widehat{D}}_2=90°$

Vì DCDM vuông tại C nên $\widehat{M}+{\widehat{D}}_2=90°$  (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90 ).

Suy ra $\widehat{M}={\widehat{B}}_2$

Do đó tam giác CBM cân tại C.

Vậy tam giác CBM cân tại C.