Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y=x3+3x2, với x > 0

Biến đổi: y=12x3+12x3+1x2+1x2+1x2≥512x3.12x3.1x2.1x2.1x25=545 Từ đó suy ra yMin=545, đạt được khi: 12x3=12x3=1x2=1x2=1x2⇔x5=2⇔x=25

Câu hỏi:

19/08/2025 211

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y = x^{3} + \frac{3}{x^{2}}$ , với x > 0

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 6: Bất đẳng thức có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Biến đổi: $y = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \geq 5 \sqrt[5]{\frac{1}{2} x^{3} . \frac{1}{2} x^{3} . \frac{1}{x^{2}} . \frac{1}{x^{2}} . \frac{1}{x^{2}}} = \frac{5}{\sqrt[5]{4}}$

Từ đó suy ra $y_{M i n} = \frac{5}{\sqrt[5]{4}}$ , đạt được khi:

$\frac{1}{2} x^{3} = \frac{1}{2} x^{3} = \frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \Leftrightarrow x^{5} = 2 \Leftrightarrow x = \sqrt[5]{2}$

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: $a b (a + b - 2 c) + b c (b + c - 2 a) + c a (c + a - 2 b) \geq 0$

Xem đáp án

Lời giải

Biến đổi bất phương trình về dạng:

$\frac{a + b - 2 c}{c} + \frac{b + c - 2 a}{a} + \frac{c + a - 2 b}{b} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{b} \geq 6$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho VT, ta được:

$\Leftrightarrow \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{b} \geq 6. \sqrt[6]{\frac{a}{c} . \frac{b}{c} . \frac{b}{a} . \frac{c}{a} . \frac{c}{b} . \frac{a}{b}} = 6$ , đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi: $\frac{a}{c} = \frac{b}{c} = \frac{b}{a} = \frac{c}{a} = \frac{c}{b} = \frac{a}{b} \Leftrightarrow a = b = c$

Câu 2

Cho $a, b > 0, m \in ℕ^{*}$ . Chứng minh rằng: ${(1 + \frac{a}{b})}^{m} + {(1 + \frac{b}{a})}^{m} \geq 2^{m + 1}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

$(1 + \frac{a}{b}) \geq 2 \sqrt{\frac{a}{b}} \Leftrightarrow {(1 + \frac{a}{b})}^{m} \geq 2^{m} \sqrt{{(\frac{a}{b})}^{m}} (1 + \frac{b}{a}) \geq 2 \sqrt{\frac{b}{a}} \Leftrightarrow {(1 + \frac{b}{a})}^{m} \geq 2^{m} \sqrt{{(\frac{b}{a})}^{m}}$

Suy ra:

${(1 + \frac{a}{b})}^{m} + {(1 + \frac{b}{a})}^{m} \geq 2^{m} \sqrt{{(\frac{a}{b})}^{m}} + 2^{m} \sqrt{{(\frac{b}{a})}^{m}} \geq 2. \sqrt{2^{m} . \sqrt{{(\frac{a}{b})}^{m}} {.2}^{m} \sqrt{{(\frac{b}{a})}^{m}}} = 2^{m + 1}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi: $\{\begin{cases} 1 = \frac{a}{b} \\ 1 = \frac{b}{a} \\ {(1 + \frac{a}{b})}^{m} = {(1 + \frac{b}{a})}^{m} \end{cases} \Leftrightarrow a = b$

Câu 3