b) Xác định vị trí của điểm O để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

a) Ta có:

PQ là đường trung bình của tam giác ABC $\Rightarrow PQ\text{//}BC, PQ=\frac{1}{2}BC$ (1)

MN là đường trung bình của tam giác OBC $\Rightarrow MN\text{//}BC, MN=\frac{1}{2}BC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $QP\text{//}MN,QP=MN$ 

$\Rightarrow MNPQ$ là hình bình hành.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}EA=EB\left(gt\right)\\ FB=FC\left(gt\right)\end{array}\right.\Rightarrow EF$ là đường trung bình của $\Delta BAC\Rightarrow EF\text{//}AC$ và $EF=\frac{1}{2}AC$ (1)

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}HA=HD\left(gt\right)\\ GC=GD\left(gt\right)\end{array}\right.\Rightarrow HG$ là đường trung bình của $\Delta DAC\Rightarrow HG\text{//}AC$ và $HG=\frac{1}{2}AC$ (2) 

Từ (1), (2) suy ra EF // HG và EF = HG 

Vậy EFGH là hình bình hành (3) 

Để EFGH là hình chữ nhật thì $\widehat{HEF}={90}^o\Rightarrow HE\perp EF\Rightarrow AC\perp BD$.