Tổng bình phương các nghiệm của phương trình $\left(x-2\right)\sqrt{2x+7}=x^2-4$ bằng:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: $\sqrt{3x-4}=x-3$.

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được 3x – 4 = (x – 3)²

⇒ 3x – 4 = x² – 6x + 9

⇒ x² – 9x + 13 = 0

⇒ $x=\frac{9+\sqrt{29}}{2}$ hoặc $x=\frac{9-\sqrt{29}}{2}$.

Với  $x=\frac{9+\sqrt{29}}{2}$, ta có $\sqrt{3.\frac{9+\sqrt{29}}{2}-4}=\frac{9+\sqrt{29}}{2}-3$ (đúng)

Với $x=\frac{9-\sqrt{29}}{2}$, ta có $\sqrt{3.\frac{9-\sqrt{29}}{2}-4}=\frac{9-\sqrt{29}}{2}-3$ (sai)

Vì vậy khi thay lần lượt $x=\frac{9+\sqrt{29}}{2}$ và $x=\frac{9-\sqrt{29}}{2}$ vào phương trình $\sqrt{3x-4}=x-3$, ta thấy chỉ có $x=\frac{9+\sqrt{29}}{2}$ thỏa mãn.

Vậy hai đồ thị cắt nhau tại một giao điểm.

Do đó ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\frac{\sqrt{x^2-3x-4}}{x+1}=-2$.

$\Rightarrow \sqrt{x^2-3x-4}=-2\left(x+1\right)$.

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được:

x² – 3x – 4 = 4(x + 1)²

⇒ x² – 3x – 4 = 4(x² + 2x + 1)

⇒ 3x² + 11x + 8 = 0

⇒ x = –1 hoặc $x=-\frac{8}{3}$.

Với x = –1, ta có $\frac{\sqrt{{\left(-1\right)}^2-3.\left(-1\right)-4}}{-1+1}=-2$ (vô lý)

Với $x=-\frac{8}{3}$, ta có $\frac{\sqrt{{\left(-\frac{8}{3}\right)}^2-3.\left(-\frac{8}{3}\right)-4}}{-\frac{8}{3}+1}=-2$ (đúng)

Vì vậy khi thay lần lượt các giá trị x = –1 và $x=-\frac{8}{3}$ vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có $x=-\frac{8}{3}$ thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=-\frac{8}{3}$.

Khi đó a = –8 và b = 3 (do b > 0).

Suy ra a² – b² = (–8)² – 3² = 55.

Vậy ta chọn phương án A.