✕

✨ Đăng kí VIP để truy cập không giới hạn. Đăng ký ngay

Câu hỏi:

13/07/2024 2,561

Chứng minh rằng: $a + \frac{1}{b (a - b)} \geq 3, \forall a > b > 0$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 9 Chủ đề 8: Bất đẳng thức có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

$a + \frac{1}{b (a - b)} = b + (a - b) + \frac{1}{b (a - b)} \geq 3 \sqrt[3]{b . (a - b) . \frac{1}{b (a - b)}} = 3$

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa $a b c = 1$ . CMR $\frac{b + c}{\sqrt{a}} + \frac{c + a}{\sqrt{b}} + \frac{a + b}{\sqrt{c}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + 3$

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{matrix} \frac{b + c}{\sqrt{a}} + \frac{c + a}{\sqrt{b}} + \frac{a + b}{\sqrt{c}} \geq \frac{2 \sqrt[]{b c}}{\sqrt{a}} + \frac{2 \sqrt{c a}}{\sqrt{b}} + \frac{2 \sqrt{a b}}{\sqrt{c}} = 2 (\sqrt{\frac{b c}{a}} + \sqrt{\frac{c a}{b}} + \sqrt{\frac{a b}{c}}) \\ = (\sqrt{\frac{b c}{a}} + \sqrt{\frac{c a}{b}}) + (\sqrt{\frac{c a}{b}} + \sqrt{\frac{a b}{c}}) + (\sqrt{\frac{a b}{c}} + \sqrt{\frac{b c}{a}}) \end{matrix}$

$\begin{matrix} \geq 2 \sqrt{\sqrt{\frac{b c}{a}} \sqrt{\frac{c a}{b}}} + 2 \sqrt{\sqrt{\frac{c a}{b}} \sqrt{\frac{a b}{c}}} + 2 \sqrt{\sqrt{\frac{a b}{c}} \sqrt{\frac{b c}{a}}} \\ = 2 (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) = (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) + (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) \\ \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + 3 \sqrt[3]{\sqrt{a} \sqrt{b} \sqrt{c}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + 3 \end{matrix}$

Vậy $\frac{b + c}{\sqrt{a}} + \frac{c + a}{\sqrt{b}} + \frac{a + b}{\sqrt{c}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + 3$

Câu 2

Cho 2 số thực dương a, b thỏa $\{\begin{cases} a \geq 1 \\ b \geq 1 \end{cases}$ . Chứng minh rằng: $a \sqrt{b - 1} + b \sqrt{a - 1} \leq a b$

Xem đáp án

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: $a \sqrt{b - 1} = \sqrt{a} \sqrt{a b - a} \leq \frac{1}{2} (a + a b - a) = \frac{a b}{2}$ (1)

Tương tự: $b \sqrt{a - 1} \leq \frac{a b}{2}$ (2)

Cộng theo vế (1) và (2), ta được: $a \sqrt{b - 1} + b \sqrt{a - 1} \leq a b$ (đpcm)

Câu 3

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa $\{\begin{cases} a > c \\ b > c \end{cases}$ .
Chứng minh rằng $\sqrt{c (a - c)} + \sqrt{c (b - c)} \leq \sqrt{a b}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng: $16 a b {(a - b)}^{2} \leq {(a + b)}^{4}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: $(a + b) (b + c) (c + a) \geq 8 a b c$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Chứng minh rằng: $\frac{a^{2} + 2}{\sqrt{a^{2} + 1}} \geq 2, \forall a \in R$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »