Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a>cb>c. Chứng minh rằng ca−c+cb−c≤ab

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: ca−c+cb−cab=cb.a−ca+ca.b−cb≤12cb+a−ca+12ca+b−cb≤12cb+1−ca+12ca+1−cb=1 ⇒ca−c+cb−c≤ab (đpcm)

Câu hỏi:

19/08/2025 3,648

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa $\{\begin{cases} a > c \\ b > c \end{cases}$ .
Chứng minh rằng $\sqrt{c (a - c)} + \sqrt{c (b - c)} \leq \sqrt{a b}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 9 Chủ đề 8: Bất đẳng thức có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: $\begin{matrix} \frac{\sqrt{c (a - c)} + \sqrt{c (b - c)}}{\sqrt{a b}} = \sqrt{\frac{c}{b} . \frac{(a - c)}{a}} + \sqrt{\frac{c}{a} . \frac{(b - c)}{b}} \\ \leq \frac{1}{2} (\frac{c}{b} + \frac{a - c}{a}) + \frac{1}{2} (\frac{c}{a} + \frac{b - c}{b}) \\ \leq \frac{1}{2} (\frac{c}{b} + 1 - \frac{c}{a}) + \frac{1}{2} (\frac{c}{a} + 1 - \frac{c}{b}) = 1 \end{matrix}$

$\Rightarrow \sqrt{c (a - c)} + \sqrt{c (b - c)} \leq \sqrt{a b}$ (đpcm)

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho 2 số thực dương a, b thỏa $\{\begin{cases} a \geq 1 \\ b \geq 1 \end{cases}$ . Chứng minh rằng: $a \sqrt{b - 1} + b \sqrt{a - 1} \leq a b$

Xem đáp án

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: $a \sqrt{b - 1} = \sqrt{a} \sqrt{a b - a} \leq \frac{1}{2} (a + a b - a) = \frac{a b}{2}$ (1)

Tương tự: $b \sqrt{a - 1} \leq \frac{a b}{2}$ (2)

Cộng theo vế (1) và (2), ta được: $a \sqrt{b - 1} + b \sqrt{a - 1} \leq a b$ (đpcm)

Câu 2

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa $a b c = 1$ . CMR $\frac{b + c}{\sqrt{a}} + \frac{c + a}{\sqrt{b}} + \frac{a + b}{\sqrt{c}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + 3$

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{matrix} \frac{b + c}{\sqrt{a}} + \frac{c + a}{\sqrt{b}} + \frac{a + b}{\sqrt{c}} \geq \frac{2 \sqrt[]{b c}}{\sqrt{a}} + \frac{2 \sqrt{c a}}{\sqrt{b}} + \frac{2 \sqrt{a b}}{\sqrt{c}} = 2 (\sqrt{\frac{b c}{a}} + \sqrt{\frac{c a}{b}} + \sqrt{\frac{a b}{c}}) \\ = (\sqrt{\frac{b c}{a}} + \sqrt{\frac{c a}{b}}) + (\sqrt{\frac{c a}{b}} + \sqrt{\frac{a b}{c}}) + (\sqrt{\frac{a b}{c}} + \sqrt{\frac{b c}{a}}) \end{matrix}$

$\begin{matrix} \geq 2 \sqrt{\sqrt{\frac{b c}{a}} \sqrt{\frac{c a}{b}}} + 2 \sqrt{\sqrt{\frac{c a}{b}} \sqrt{\frac{a b}{c}}} + 2 \sqrt{\sqrt{\frac{a b}{c}} \sqrt{\frac{b c}{a}}} \\ = 2 (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) = (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) + (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) \\ \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + 3 \sqrt[3]{\sqrt{a} \sqrt{b} \sqrt{c}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + 3 \end{matrix}$

Vậy $\frac{b + c}{\sqrt{a}} + \frac{c + a}{\sqrt{b}} + \frac{a + b}{\sqrt{c}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + 3$

Câu 3

Chứng minh rằng: $a + \frac{1}{b (a - b)} \geq 3, \forall a > b > 0$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: $(a + b) (b + c) (c + a) \geq 8 a b c$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng: $16 a b {(a - b)}^{2} \leq {(a + b)}^{4}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Chứng minh rằng: $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2, \forall a, b > 0$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa $\{\begin{cases} a > c \\ b > c \end{cases}$ .
Chứng minh rằng $\sqrt{c (a - c)} + \sqrt{c (b - c)} \leq \sqrt{a b}$

Cho 2 số thực dương a, b thỏa $\{\begin{cases} a \geq 1 \\ b \geq 1 \end{cases}$ . Chứng minh rằng: $a \sqrt{b - 1} + b \sqrt{a - 1} \leq a b$

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa $a b c = 1$ . CMR $\frac{b + c}{\sqrt{a}} + \frac{c + a}{\sqrt{b}} + \frac{a + b}{\sqrt{c}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + 3$

Chứng minh rằng: $a + \frac{1}{b (a - b)} \geq 3, \forall a > b > 0$

Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: $(a + b) (b + c) (c + a) \geq 8 a b c$

Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng: $16 a b {(a - b)}^{2} \leq {(a + b)}^{4}$

Chứng minh rằng: $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2, \forall a, b > 0$