Cho hình chữ nhật ABCD có ÂB = 2AD . Gọi E, F theo thứ tụ là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. a) Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?

a) E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên ta có EF // AD // BC , do đó dễ thấy ADFE là hình chữ nhật. Mặt khác AD=AE=12AB. Vậy ADFE là hình vuông.

Cho hình chữ nhật ABCD có ÂB = 2AD . Gọi E, F theo thứ tụ là trung điểm của AB, CD. a) Tứ giác ADFE là hình gì Vì sao

Câu 1

Cho hình vuông ABCD. Gọi E, F lần lượt trên cạnh AB, AD sao cho AE = DF . Chứng minh rằng DE = CF và DE $⊥$ CF

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình vuông ABCD. Gọi E, F lần lượt trên cạnh AB, AD sao cho AE = DF . Chứng minh rằng DE = CF và DE vuông góc CF (ảnh 1)

Gọi I là giao điểm của DE và CF.

Xét hai tam giác ADE và DCF có:

AD = DC (vì ABCD là hình vuông).

$\hat{EAD} = \hat{FDC} = 90 °$ .

AE = DF (theo giả thiết)

Vậy $Δ A D E = Δ D C F$ , khi đó ta có:

DE = CF và $\hat{ADE} = \hat{DCF}$ .

Mặt khác $\hat{DCF} + \hat{DFC} = 90 °$ , suy ra $\hat{A D E} + \hat{DFC} = 90^{°} \Rightarrow \hat{DIF} = 90^{°}$ .

Vậy $D E ⊥ C F$ .

Câu 2

Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M tùy ý trên cạnh BC. Từ M, vẽ một đường thẳng cắt cạnh CD tại K sao cho: $\hat{AMB} = \hat{AMK}$ . Chứng minh $\hat{KAM} = 45^{0}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M tùy ý trên cạnh BC. Từ M, vẽ một đường thẳng cắt cạnh CD tại K sao cho: góc AMB = góc AMK. Chứng minh góc KAM = 45 độ (ảnh 1)

MA là phân giác góc BMK nên MA là trục đối xứng của hai đường thẳng MK và MB.

Gọi I là điểm đối xứng của K qua MA, suy ra I thuộc đường thẳng BC.

Ta có $A I = A K$ , $A B = A D$ .

Hai tam giác vuông ABI và ADK có hai cạnh bằng nhau nên $Δ ABI = Δ ADK$ .

Từ đó ta có $\hat{IAB} = \hat{KAD}$ .

$\hat{IAK} = \hat{IAB} + \hat{BAK} = \hat{KAD} + \hat{BAK} = 90 °$ .

Vậy ta có: $\hat{MAK} = \frac{1}{2} \hat{IAK} = 45 °$ .

Câu 3