Cho tam giác ABC nhọn, đặt BC = a; AC = b, AB = c. Tính $P=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{BC}$ theo a, b, c.

Đáp án đúng là: D

 

ABCD là hình bình hành nên ta có SABCD = 2SABC

Suy ra 2SABC = 54 (cm2) nên SABC = 27 (cm2).

Mà diện tích tam giác ABC là:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.BC.\sin \widehat{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AD.\sin \widehat{ABC}$

$\Rightarrow \sin \widehat{ABC}=\frac{2.S_{ABC}}{AB.AD}=\frac{2.27}{8.12}=\frac{9}{16}.$

Mà ${\sin }^2\widehat{ABC}+co{s}^2\widehat{ABC}=1$

$\Rightarrow co{s}^2\widehat{ABC}=1-{\sin }^2\widehat{ABC}=1-{\left(\frac{9}{16}\right)}^2=\frac{175}{256}$

Mà $\widehat{ABC}$ là góc nhọn nên $cos\widehat{ABC}=\sqrt{\frac{175}{256}}=\frac{5\sqrt{7}}{16}$

Mặt khác góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$ là góc ngoài của góc $\widehat{ABC}$

Suy ra $cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=cos\left(180°-\widehat{ABC}\right)=-cos\widehat{ABC}=-\frac{5\sqrt{7}}{16}$.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

ABCD là hình vuông cạnh a nên suy ra $AC=a\sqrt{2}$ và $\widehat{ACD}=45°$.

Ta có $P=\overrightarrow{AC}.\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CA}\right)$

$=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CA}$

$=-\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CD}-{\overrightarrow{AC}}^2$

$=-CA.CD\cos \left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CD}\right)-A{C}^2$

$=-a\sqrt{2}.a.\cos 45°-{\left(a\sqrt{2}\right)}^2$

$=-a\sqrt{2}.a.\frac{\sqrt{2}}{2}-2a^2=-3a^2$.

Vậy ta chọn phương án C.