Cho hình vuông ABCD có AB = a. Tính $P=\overrightarrow{AC}.\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CA}\right)$.

Đáp án đúng là: D

 

ABCD là hình bình hành nên ta có SABCD = 2SABC

Suy ra 2SABC = 54 (cm2) nên SABC = 27 (cm2).

Mà diện tích tam giác ABC là:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.BC.\sin \widehat{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AD.\sin \widehat{ABC}$

$\Rightarrow \sin \widehat{ABC}=\frac{2.S_{ABC}}{AB.AD}=\frac{2.27}{8.12}=\frac{9}{16}.$

Mà ${\sin }^2\widehat{ABC}+co{s}^2\widehat{ABC}=1$

$\Rightarrow co{s}^2\widehat{ABC}=1-{\sin }^2\widehat{ABC}=1-{\left(\frac{9}{16}\right)}^2=\frac{175}{256}$

Mà $\widehat{ABC}$ là góc nhọn nên $cos\widehat{ABC}=\sqrt{\frac{175}{256}}=\frac{5\sqrt{7}}{16}$

Mặt khác góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$ là góc ngoài của góc $\widehat{ABC}$

Suy ra $cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=cos\left(180°-\widehat{ABC}\right)=-cos\widehat{ABC}=-\frac{5\sqrt{7}}{16}$.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: A

Ta có

$P=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{BC}$

$=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)$

$=\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\right).\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$

$={\overrightarrow{AC}}^2-{\overrightarrow{AB}}^2=A{C}^2-A{B}^2=b^2-c^2$.

Vậy ta chọn phương án A.