Cho hình vuông ABCD có tâm O. Vectơ nào trong các vectơ dưới đây bằng $\overrightarrow{AC}?$

Đáp án đúng là: C

 

Vẽ hình bình hành ACDE. Khi đó AE // CD và AE = CD.

Mà ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD.

Do đó đường thẳng AE trùng với đường thẳng AB hay E, B, A thẳng hàng.

Lại có: AE = CD = AB nên A là trung điểm của EB.

Suy ra $\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{EB}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DB}\right)$.

Do ACDE là hình bình hành suy ra $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{ED}$.

Nên $\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DB}\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}\right)$.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Vì M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{MC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.

Vì N là điểm thuộc cạnh AC sao cho AN = 2NC nên AC = 3NC, do đó $\overrightarrow{CN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}.$

Ta có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}$$=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

$=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

$=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$.

Vậy ta chọn phương án B.