Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên AC lấy điểm D sao cho AB = CD. O là giao điểm của các đường trung trực của BD và AC. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét DDHE có AB, AC là hai đường trung trực của tam giác cắt nhau tại A nên A cách đều ba đỉnh của tam giác

Do đó AD = AH = AE.

Tam giác ADE có AD = AE nên là tam giác cân tại A.

Suy ra \(\widehat {ADE} = \widehat {AED}\) (tính chất tam giác cân)      (1)

Xét DADM và DAHM có

AM là cạnh chung,

DM = HM (do M thuộc trung trực của DH),

AD = AH (chứng minh trên).

Do đó DADM = DAHM (c.c.c).

Suy ra \(\widehat {ADM} = \widehat {AHM}\)(hai góc tương ứng)   (2)

Xét DANH và DANE có

AN là cạnh chung,

NH = NE (do N thuộc trung trực của EH),

AH = AE (chứng minh trên)

Do đó DANH = DANE (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {AHN} = \widehat {AEN}\)(hai góc tương ứng)   (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat {AHN} = \widehat {AHM}\)

Do đó HA là tia phân giác của góc MHN.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì HI là trung trực của OA nên IH ⊥ OA, OH = HA = \(\frac{1}{2}\)OA;

Vì KI là trung trực của OB nên IK ⊥ OB, OK = KB = \(\frac{1}{2}\)OB.

Mà OA = OB (giả thiết) nên OH = OK.

Xét DOIH và DOIK có

\(\widehat {OHI} = \widehat {OKI}( = 90^\circ )\),

OI là cạnh chung,

OH = OK (chứng minh trên)

Do đó DOIH = DOIK (cạnh huyển – cạnh góc vuông).

Suy ra \(\widehat {HOI} = \widehat {KOI}\) (hai góc tương ứng).

Do đó OI là tia phân giác của \(\widehat {xOy}\), nên (I) đúng.

Xét DOAB có IH là trung trực của OA, IK là trung trực của OB, IH cắt IK tại H nên I là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác OAB.

Do đó OI là trung trực của AB, nên (II) đúng.

Vậy ta chọn phương án C.