Cho tam giác ABC có \(\widehat A = \alpha \) là góc tù. Các đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau tại I. Tính số đo của góc BIC theo α ta được:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì E thuộc đường trung trực của AB nên EA = EB

Do đó tam giác ABE cân tại E

Suy ra \(\widehat B = \widehat {{\rm{BAE}}}\)

Vì F thuộc đường trung trực của AC nên FA = FC

Do đó tam giác ACF cân tại F

Suy ra \(\widehat C = \widehat {{\rm{FAC}}}\)

Xét DABC có \(\widehat B + \widehat {{\rm{CAB}}} + \widehat C = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat {{\rm{CAB}}} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \)

Ta có \(\widehat {{\rm{CAB}}} = \widehat {BA{\rm{E}}} + \widehat {EAF} + \widehat {FAC}\)

Mà \(\widehat B = \widehat {{\rm{BAE}}}\),\(\widehat C = \widehat {{\rm{FAC}}}\),\(\widehat {CAB} = 100^\circ \)

Suy ra \(\widehat {FA{\rm{E}}} = \widehat {{\rm{CAB}}} - \widehat B - \widehat C = 100^\circ - 80^\circ = 20^\circ \).

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét DABC có O là giao điểm của hai đường trung trực của tam giác nên O cách đều ba đỉnh A, B, C.

Do đó OA = OB = OC.

• Tam giác ABO có OA = OB nên DABO cân tại O.

Suy ra \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\) hay \(\widehat {OAB} = \widehat {DBA}\).

• Ta có OA = OC (chứng minh trên) và OB = OD (giả thiết)

Suy ra OA = OD nên tam giác OAD cân tại O.

Do đó \(\widehat {OAD} = \widehat {ODA}\)hay \(\widehat {OAD} = \widehat {BDA}\).

• Xét DABD có \(\widehat {DAB} + \widehat {BDA} + \widehat {DBA} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác)

Hay \(\widehat {OAB} + \widehat {OA{\rm{D}}} + \widehat {BDA} + \widehat {DBA} = 180^\circ \)

Mà \(\widehat {OAB} = \widehat {DBA}\), \(\widehat {OAD} = \widehat {BDA}\) (chứng minh trên)

Suy ra \(2(\widehat {BDA} + \widehat {DBA}) = 180^\circ \)

Do đó \(\widehat {BDA} = 90^\circ - \widehat {DBA}\)          (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có \(\widehat {BDC} = 90^\circ - \widehat {DBC}\)     (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {BDA} + \widehat {BDC} = 180^\circ - (\widehat {DBA} + \widehat {DBC})\)

Hay \(\widehat {ADC} = \widehat {BDA} + \widehat {BDC} = 180^\circ - \widehat {CBA} = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \).

Do đó \(\widehat {ADC} = 105^\circ \)

Vậy ta chọn phương án C.