Cho parabol $\left(P\right):y=x^2$ và đường thẳng  $d:y=2x+m$ (m là tham số). Gọi S  là tập hợp các giá trị nguyên của m  để đường thẳng (d)  cắt parabol (P)  tại hai điểm phân biệt A,B  thỏa mãn vuông tại O . Khi đó số các phần tử thuộc S bằng :

Chọn C

+)Xét phương trình hoành độ giao điểm của d  và (P) : $x^2=2x+m\iff x^2-2x-m=0$ (1)

+)  d cắt (P)  tại điểm phân biệt $\iff$  phương trình (1) có nghiệm phân biệt

$\iff \Delta \text{'}>0\iff 1+m>0\iff m>-1$.

+) Khi đó d  cắt (P) tại 2 điểm phân biệt là : $A(x_A;x_A^2)$ và $B(x_B;x_B^2)$.

$\Rightarrow \overrightarrow{OA}=(x_A;x_A^2)$, $\overrightarrow{OB}=(x_B;x_B^2)$ , (đk $O,A,B$ không thẳng hàng) $\iff x_A,x_B\ne 0$

Với $x_A,x_B$ là các nghiệm của phương trình (1) nên theo vi-ét : $\left\{\begin{array}{l}{x}_A+x_B=2\\ x_A.x_B=-m\end{array}\right.$

Theo giả thiết $△OAB$  vuông tại $O\iff O{A}^2+O{B}^2=A{B}^2$

$\iff x_A^2+x_A^4+x_B^2+x_B^4={(x_A-x_B)}^2+{\left(x_A^2-x_B^2\right)}^2$

$\iff -2m+2m^2=0\iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=1\end{array}\right.$

So sánh với các đk ta thấy  m=0  loại, m=1  thỏa mãn $\Rightarrow S=\left\{1\right\}$ .

Nội dung phản biện:

- Kiến thức tương quan lớp 10 phần hàm số và tọa độ véc tơ, độ dài véc tơ chưa học kịp cùng nhau. Bài này sử dụng cuối kì 1 thì được. Nếu đến thời điểm đó thì dùng tích vô hướng 2 véc tơ sẽ đơn giản hơn về mặt biến đổi.

- Với điều kiện m nguyên thì có thể dùng hình vẽ đồ thị $y=x^2$  và đồ thị $y=2\text{x }$hàm số để kiểm tra đáp án được. Bằng cách tịnh tiến đường thẳng $y=2\text{x}$  theo các đơn vị nguyên từ đó nhìn hình kiểm tra số đáp án thỏa mãn. Do vậy có thể bỏ điều kiện m nguyên để tránh việc dùng hình vẽ giải bài toán này.

Cách dùng hình ở trang dưới: