Cho hình vuông ABCD cạnh a  .

a) Chứng minh rằng  $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}$  không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

Cách 1:

(Hình 1.19)Gọi D là chân đường phân giác góc A
Do D là đường phân giác giác trong góc A nên ta có
$\begin{array}{l}\frac{DB}{DC}=\frac{c}{b}\Rightarrow \overrightarrow{BD}=\frac{c}{b}\overrightarrow{DC}\\ \iff \overrightarrow{ID}-\overrightarrow{IB}=\frac{c}{b}\left(\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{ID}\right)\\ \iff \left(b+c\right)\overrightarrow{ID}=b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}\left(1\right)\end{array}$
Do I là chân đường phân giác nên ta có :

$\begin{array}{l}\frac{ID}{IA}=\frac{BD}{BA}=\frac{CD}{CA}=\frac{BD+CD}{BA+CA}=\frac{a}{b+c}\\ \Rightarrow \left(b+c\right)\overrightarrow{ID}=-a\overrightarrow{IA}\left(2\right)\end{array}$
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh
Cách 2:

(hình 1.20)Qua C dựng đường thẳng song song với AI cắt BI tai B’;song song với BI cắt AI tại A’
Ta có $\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IA\text{'}}+\overrightarrow{IB\text{'}}$ (*)
Theo định lý Talet và tính chất đường phân giác trong ta có :
$\frac{IB}{IB\text{'}}=\frac{B{A}_1}{C{A}_1}=\frac{c}{b}\Rightarrow \overrightarrow{IB\text{'}}=-\frac{b}{c}\overrightarrow{IB}\left(1\right)$
Tương tự : $\overrightarrow{IA\text{'}}=-\frac{a}{c}\overrightarrow{IA}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) thay vào (*) ta có :
$\overrightarrow{IC}=-\frac{a}{c}\overrightarrow{IA}-\frac{b}{c}\overrightarrow{IB}\iff a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

Vì $G_1$  là trọng tâm tam giác $BC{A}_1$  nên $3\overrightarrow{G{G}_1}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{G{A}_1}$

Tương tự $G_2,G_3$  lần lượt là trọng tâm tam giác $AB{C}_1,AC{B}_1$ suy ra

 $3\overrightarrow{G{G}_2}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{G{C}_1}$và $3\overrightarrow{G{G}_3}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{G{B}_1}$

Công theo vế với vế các đẳng thức trên ta có

$\overrightarrow{G{G}_1}+\overrightarrow{G{G}_2}+\overrightarrow{G{G}_3}=2\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)+\left(\overrightarrow{G{A}_1}+\overrightarrow{G{B}_1}+\overrightarrow{G{C}_1}\right)$

Mặt khác hai tam giác ABC và $A_1{B}_1{C}_1$  có cùng trọng tâm G nên

 $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$và $\overrightarrow{G{A}_1}+\overrightarrow{G{B}_1}+\overrightarrow{G{C}_1}$

Suy ra   $\overrightarrow{G{G}_1}+\overrightarrow{G{G}_2}+\overrightarrow{G{G}_3}=\overrightarrow{0}$