Với giá trị nào của m thì đường thẳng ∆: 4x + 3y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn (C): x² + y² – 9 = 0?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đường tròn (C) có tâm I(2; 3), bán kính \(R = 2\sqrt 2 \).

Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng d và đường tròn (C).

Kẻ IH ⊥ d. Suy ra H là trung điểm MN. Khi đó \(HN = \frac{1}{2}MN\).

∆IHN vuông tại H: IN² = IH² + HN² (Định lí Pytago)

\( \Leftrightarrow {R^2} = I{H^2} + {\left( {\frac{{MN}}{2}} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{MN}}{2}} \right)^2} = {R^2} - I{H^2}\)

Dây cung MN ngắn nhất khi và chỉ khi IH lớn nhất. Tức là IA ≡ IH hay A ≡ H.

Khi đó IA ⊥ d.

Suy ra d nhận \(\overrightarrow {IA} = \left( {1; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng d đi qua A(3; 2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {IA} = \left( {1; - 1} \right)\).

Suy ra phương trình d: 1(x – 3) – 1(y – 2) = 0

⇔ x – y – 1 = 0.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình (C_m) có dạng: x² + y² – 2ax – 2y + c = 0, với \(\left\{ \begin{array}{l} - 2a = m + 2\\ - 2b = - \left( {m + 4} \right)\\c = m + 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{m + 2}}{2}\\b = \frac{{m + 4}}{2}\\c = m + 1\end{array} \right.\)

Để (C_m) là phương trình đường tròn thì a² + b² – c > 0.

\( \Leftrightarrow {\left( { - \frac{{m + 2}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{m + 4}}{2}} \right)^2} - m - 1 > 0\)

⇔ m² + 4m + 4 + m² + 8m + 16 – 4m – 4 > 0

⇔ 2m² + 8m + 16 > 0, ∀m ∈ ℝ.

Khi đó (C_m) luôn là đường tròn, với mọi giá trị của m.

Đường tròn (C_m) có tâm I có tọa độ là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{m + 2}}{2}\\y = \frac{{m + 4}}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = - m - 2\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2y = m + 4\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Lấy (1) + (2) vế theo vế, ta được 2x + 2y = –m – 2 + m + 4

⇔ 2x + 2y – 2 = 0

⇔ x + y – 1 = 0.

Vậy khi m thay đổi, tâm của đường tròn (C_m) luôn nằm trên đường thẳng có phương trình x + y – 1 = 0.