Cho đường cong (C_m): x² + y² + (m + 2)x – (m + 4)y + m + 1 = 0. Khi m thay đổi thì tâm của đường cong (C_m) luôn nằm trên đường thẳng nào sau đây:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình (C_m) có dạng: x² + y² – 2ax – 2y + c = 0, với \(\left\{ \begin{array}{l} - 2a = m + 2\\ - 2b = - \left( {m + 4} \right)\\c = m + 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{m + 2}}{2}\\b = \frac{{m + 4}}{2}\\c = m + 1\end{array} \right.\)

Để (C_m) là phương trình đường tròn thì a² + b² – c > 0.

\( \Leftrightarrow {\left( { - \frac{{m + 2}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{m + 4}}{2}} \right)^2} - m - 1 > 0\)

⇔ m² + 4m + 4 + m² + 8m + 16 – 4m – 4 > 0

⇔ 2m² + 8m + 16 > 0, ∀m ∈ ℝ.

Khi đó (C_m) luôn là đường tròn, với mọi giá trị của m.

Đường tròn (C_m) có tâm I có tọa độ là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{m + 2}}{2}\\y = \frac{{m + 4}}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = - m - 2\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2y = m + 4\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Lấy (1) + (2) vế theo vế, ta được 2x + 2y = –m – 2 + m + 4

⇔ 2x + 2y – 2 = 0

⇔ x + y – 1 = 0.

Vậy khi m thay đổi, tâm của đường tròn (C_m) luôn nằm trên đường thẳng có phương trình x + y – 1 = 0.